Proportionnalité directe et inverse

Achète plus de cahiers, paie plus d’argent ; embauche plus d’ouvriers, termine en moins de jours. Ces deux changements sont étonnamment réguliers — assez réguliers pour être prédits avec une seule formule. Rapports et proportion a posé les bases ; installons maintenant le moteur.

Proportionnalité directe : le même multiplicateur, ensemble

Un cahier coûte 3. Achète-en 1 et paie 3, achète-en 2 et paie 6, achète-en 5 et paie 15. Double la quantité et le total double — c’est la proportionnalité directe, qui s’écrit

$y = kx$

Il existe un seul test : $\frac{y}{x}$ est toujours égal au même nombre. Ici $6 \div 2 = 15 \div 5 = 3$ , et cette constante 3 est le coefficient de proportionnalité $k$ . Sur un graphique, une proportionnalité directe est une droite passant par l’origine.

Proportionnalité inverse : le produit est conservé

Un trajet de 60 km : à 60 km/h il faut 1 heure, à 30 km/h il faut 2 heures, à 20 km/h il faut 3 heures. Vitesse plus faible, temps plus long — mais chaque produit vaut $60 \times 1 = 30 \times 2 = 20 \times 3 = 60$ . C’est la proportionnalité inverse, qui s’écrit

$xy = k$

Le test : $xy$ est toujours égal au même nombre. Version chantier : 4 ouvriers terminent en 6 jours, 8 ouvriers terminent en 3 jours — le produit est 24 journées-ouvriers dans les deux cas.

La reconnaître à partir d’un tableau

Avec un tableau de données, divise d’abord, puis multiplie :

$x$	1	2	4
$y$	6	12	24

$\frac{y}{x}$ vaut 6 dans chaque colonne — proportionnalité directe, $k = 6$ , donc $y = 6x$ . Si la division ne donne aucune constante, essaie la multiplication : par exemple $x = 1, 2, 3$ avec $y = 60, 30, 20$ garde le produit à 60 — proportionnalité inverse confirmée.

Les deux visages de la constante k

Pense à $k$ comme au taux d’échange de la relation : pour une proportionnalité directe $k = \frac{y}{x}$ (combien de $y$ chaque unité de $x$ achète), pour une proportionnalité inverse $k = xy$ (le total conservé). Une fois $k$ trouvé, chaque case vide du tableau peut être calculée.

InteractifDroites de proportionnalité

Comment utiliser

Pente m1Ordonnée à l’origine b2

y = x + 2

intersection avec l’axe y

(0, 2)

intersection avec l’axe x

(-2, 0)

Règle $b$ sur 0 et fais glisser $m$ : chaque droite passant par l’origine est une déclaration de proportionnalité directe, et plus $m$ est grand, plus chaque pas de $x$ achète de $y$ . Éloigne $b$ de 0 et la droite reste droite, mais cesse d’être proportionnelle — vois le rappel ci-dessous.

Seules les droites passant par l’origine comptent

Un taxi qui facture 10 au départ plus 2 par kilomètre a une relation linéaire avec la distance — mais elle n’est pas proportionnelle : parcourir 0 km coûte quand même 10. La proportionnalité directe exige $y = 0$ quand $x = 0$ ; seul un départ commun à zéro mérite ce nom.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 3 stylos coûtent 12. Combien coûtent 7 stylos identiques ?
2. 6 ouvriers ont besoin de 10 jours pour construire une route. Combien de temps faut-il à 12 ouvriers ?
3. Quelle paire est en proportionnalité directe ?