Systèmes d'équations

Une inconnue avec une équation — la résolution d'équations linéaires a traité cela. La vie réelle, cependant, vous donne souvent deux inconnues à la fois : « Combien coûte une pomme ? Et une orange ? » Un seul indice laisse une infinité de réponses ; deux indices ensemble fixent la réponse.

Deux inconnues, deux indices

Considérez cette paire :

$x + y = 10, \qquad x - y = 2$

Que valent $x$ et $y$ ? La première équation seule a une infinité de solutions (1 et 9, 5 et 5, 6,5 et 3,5...) ; la seconde aussi. Une seule équation ne peut pas trancher — ensemble seulement, elles verrouillent une paire unique. Voilà ce que signifie « système » et ce que signifie « simultanées » : la paire trouvée doit satisfaire les deux équations à la fois.

Substitution : remplacer une inconnue par une expression

Substitution, pas à pas

Résolvez $x + y = 10$ , $x - y = 2$ .

À partir de la seconde équation, exprimez $x$ en fonction de $y$ : $x = y + 2$ ;
Remplacez dans la première : $(y + 2) + y = 10$ , c'est-à-dire $2y + 2 = 10$ ;
Soustrayez 2 des deux côtés, puis divisez par 2 : $y = 4$ ;
Remplacez en arrière : $x = y + 2 = 6$ .

La solution est $x = 6$ , $y = 4$ . Deux inconnues, mais nous en avons d'abord éliminé une et abouti à une équation familière à une inconnue.

Élimination : les inconnues disparaissent en additionnant

Un chemin plus rapide consiste simplement à additionner les deux équations : à gauche, $x + x$ donne $2x$ tandis que $y$ et $-y$ s'annulent ; à droite, $10 + 2 = 12$ :

$2x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 6$

Remplacez $x = 6$ dans l'une ou l'autre équation pour obtenir $y = 4$ . Vous pourriez plutôt soustraire : $(x + y) - (x - y) = 10 - 2$ donne $2y = 8$ , donc $y = 4$ . Même système, même réponse — substitution et élimination sont deux chemins vers une même destination. Choisissez celui qui convient aux coefficients.

En pratique : pommes et oranges

Un système d'équations au marché

3 pommes plus 2 oranges coûtent 13 ; 1 pomme plus 1 orange coûte 5. Combien coûte chaque fruit ?

Prenons une pomme $a$ et une orange $o$ : $3a + 2o = 13$ et $a + o = 5$ .

D'après la seconde, $o = 5 - a$ ; remplaçons : $3a + 2(5 - a) = 13$ ;
Développons : $3a + 10 - 2a = 13$ , donc $a + 10 = 13$ et $a = 3$ ;
Ensuite $o = 5 - 3 = 2$ . Les pommes coûtent 3, les oranges coûtent 2.

Raccourci mental : doublez « 1 pomme 1 orange » en « 2 pommes 2 oranges pour 10 » et comparez avec « 3 pommes 2 oranges pour 13 » — le supplément est exactement une pomme, qui vaut 3. C'est l'élimination faite de tête.

Vérifiez avec les deux équations

Après avoir résolu, réintroduisez le couple dans les deux équations : $6 + 4 = 10$ est vrai, $6 - 4 = 2$ est vrai — seulement alors vous avez terminé. Une seule équation ne suffit pas ; beaucoup de couples n'en satisfont qu'une.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. x+y=10 et x−y=2. Que vaut x ?
2. Pourquoi la résolution de deux inconnues demande-t-elle deux équations ?
3. 3 pommes et 2 oranges coûtent 13 ; 1 pomme et 1 orange coûtent 5. Prix d'une pomme ?