Variables et la machine à fonctions

Il y a une machine mystérieuse sur le bureau : on lui donne 3, elle rend 7 ; on lui donne 5, elle rend 11. Quelle règle se cache à l’intérieur ? Pour résoudre l’énigme, il faut deux outils : des lettres qui représentent des nombres, et des fonctions qui les transforment.

Les lettres représentent des nombres

La multiplication suit une vieille règle : permuter les deux nombres ne change pas le résultat. Avec des nombres réels, $3 \times 5 = 5 \times 3$ décrit exactement un couple. Avec des lettres :

$a \times b = b \times a$

Une seule courte ligne couvre maintenant toutes les paires de nombres du monde. Une lettre qui peut contenir n’importe quel nombre de cette façon s’appelle une variable — une place vide que n’importe quel nombre peut occuper.

Les lettres changent aussi l’écriture de la multiplication : $3x$ est une abréviation de $3 \times x$ , sans le signe de multiplication.

Piège courant

$3x$ signifie $3 \times x$ , pas $3 + x$ . Si $x = 4$ , alors $3x = 12$ , pas 7.

Une fonction est une machine à nombres

On glisse un nombre dans la machine, elle applique une règle fixe, et un nouveau nombre en ressort. C’est une fonction. Voici la machine dont la règle est « double le nombre, puis ajoute 1 » :

entrée 3 : $3 \times 2 + 1 = 7$
entrée 5 : $5 \times 2 + 1 = 11$

Les mathématiciens notent toute la machine en une ligne :

$f(x) = 2x + 1$

On lit « f de x égale 2x plus 1 » : $f$ nomme la règle, $x$ est l’entrée qui attend d’être introduite, et $f(x)$ est la sortie qui ressort.

Substitution : donner un travail à la variable

Choisissez une valeur pour $x$ et faites-la passer dans la règle — cela s’appelle évaluer. Prenons $f(x) = 3x + 1$ :

Si $x = 4$ : $f(4) = 3 \times 4 + 1 = 13$
Si $x = 10$ : $f(10) = 3 \times 10 + 1 = 31$

On multiplie d’abord, puis on additionne. Et remarquez le vrai gain : la formule a été écrite une seule fois, pourtant elle gère toutes les entrées. C’est tout l’intérêt des variables — une seule règle couvre tous les cas.

La machine Devine-la-règle

La machine ci-dessous cache une règle. Introduisez des entrées, observez les sorties, et cherchez la régularité jusqu’à ce que vous puissiez nommer $f(x)$ . Extraire une règle d’un tas d’exemples est exactement ce que fait l’algèbre toute la journée.

InteractifMachine Devine-la-règle

Comment utiliser

Une règle secrète se cache dans la machine. Donne-lui des nombres et devine la règle !

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Sortie

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Vérifiez vos connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Si f(x) = 2x + 3, que vaut f(5) ?
2. Que signifie 3x ?
3. Une machine transforme 2 en 6 et 5 en 15. Quelle est sa règle ?