Geometría
Teoremas de círculos
Tres teoremas de ángulos sobre ángulos centrales, ángulos inscritos y diámetros: las reglas que un círculo impone en silencio.
¿Por qué las ruedas siempre son redondas? Porque cada punto de un círculo está a la misma distancia del centro, así que el viaje nunca da saltos. Dentro de esta forma "absolutamente justa" se esconden varias leyes hermosas sobre ángulos.
Primero aprende bien los nombres
El centro es ; el segmento que une el centro con un punto del círculo es el radio, y su pariente doble que pasa por el centro es el diámetro. Ya conociste estas partes en círculos. Las estrellas de hoy son dos tipos de ángulos, ambos ángulos comunes, medidos de la manera usual:
- Un ángulo central: vértice en el centro, lados que tocan dos puntos del círculo;
- Un ángulo inscrito: vértice sobre el círculo mismo, lados a lo largo de dos cuerdas.
El tramo de circunferencia atrapado entre los lados es un arco, y la relación entre arcos y ángulos es la trama principal de hoy (tiene papeles más grandes en arcos y sectores).
Cómo usar
Diámetro d
d = 6
Circunferencia C = 2πr
C = 18.85
Área A = πr²
A = 28.27
C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27
Arrastra el deslizador del radio y observa cómo lo siguen el diámetro, la circunferencia y el área: el diámetro siempre es el doble del radio. ¿Ya calentaste? Vamos a los tres teoremas.
El teorema del ángulo inscrito: la relación de la mitad
Mira el mismo arco primero desde el centro y luego desde cualquier punto del círculo: el ángulo inscrito siempre es la mitad del ángulo central que se apoya en el mismo arco. Desde el centro, el arco está cerca, así que la vista es más amplia; al moverte al borde, el mismo arco se reduce a la mitad de su tamaño aparente. Un ángulo central de 80° viene con un ángulo inscrito de 40°; 90° viene con 45°.
Los ángulos inscritos sobre el mismo arco son iguales
Dos estudiantes se paran en distintos puntos del círculo (del mismo lado) y miran un arco compartido: los ángulos inscritos que miden son iguales; cada uno es la mitad del mismo ángulo central, y una mitad es igual a la otra. Con un ángulo central de 60°, dondequiera que te pares del lado del arco en el círculo, el ángulo inscrito mide 30°. "Mismo arco" funciona como el certificado de igualdad de un círculo: cambia tu posición, no tu ángulo.
Un ángulo en una semicircunferencia mide 90°
El arco más especial es la semicircunferencia: sus extremos están unidos por un diámetro. El ángulo central sobre un diámetro es el ángulo llano de 180°, así que desde cualquier punto del círculo, el ángulo inscrito que mira hacia ese diámetro siempre es . En otras palabras: un triángulo inscrito en un círculo con un lado como diámetro debe ser un triángulo rectángulo, con el diámetro como su hipotenusa; un vínculo elegante con el teorema de Pitágoras. ¿Necesitas un ángulo recto sin transportador? Dibuja un círculo, traza un diámetro, marca cualquier punto en el borde: tres movimientos y listo.
Los tres teoremas de una sola vez
Un arco enfrenta un ángulo central de 100°, y , son dos puntos del mismo lado del círculo: ; cada uno es la mitad del ángulo central, por lo tanto son iguales entre sí. Cambia el arco por una semicircunferencia (ángulo central de 180°) y el ángulo inscrito se vuelve 90°. Los tres teoremas son una familia: todos nacen de "ángulo inscrito = ángulo central ÷ 2".
Compruébalo
Cuestionario rápido
1. Un arco enfrenta un ángulo central de 100°. ¿Cuál es su ángulo inscrito?
2. AB es un diámetro y C es cualquier punto del círculo. ¿Cuánto mide ∠ACB?
3. C y D están del mismo lado del círculo, ambos mirando el arco AB. ¿Cómo se relacionan ∠ACB y ∠ADB?