Geometría
Puntos, rectas y planos
Un punto de la punta de un lápiz, una cuerda estirada, una mesa: los tres bloques básicos de la geometría.
Presiona la punta de un lápiz sobre el papel y haces un punto. Arrastra el punto y su rastro es una recta. Desliza la recta hacia un lado y se extiende hasta formar un plano. Todo el mundo de la geometría se arma con estos tres bloques básicos. No tienen tamaño ni grosor, son abstracciones puras, y aun así toda figura que has visto se apoya en ellos.
Puntos, segmentos, semirrectas y rectas
Un punto es una marca con posición pero sin tamaño. Ponlo en movimiento y obtienes una recta, que aparece en tres versiones:
- Un segmento: dos extremos, una longitud medible, como el borde de un libro de texto;
- Una semirrecta: un extremo, que se extiende para siempre en la otra dirección, como el haz de una linterna;
- Una recta: sin extremos, infinita en ambas direcciones; nunca puede medirse por completo.
Los extremos hacen toda la diferencia: cuantos más extremos hay, más controlada es la recta. Un segmento está sujeto por ambos lados, así que su longitud se puede medir; nada detiene a una recta, así que nunca se acaba.
Dos hechos indiscutibles
Dos hechos básicos sostienen casi todo argumento geométrico:
- Por dos puntos pasa exactamente una recta. Cuando dos personas sostienen cada una un extremo de una cuerda para colgar un cuadro, la cuerda se tensa y forma una sola línea recta: ese es el hecho en acción;
- Dos rectas distintas se encuentran como máximo en un punto. Si dos rectas compartieran dos puntos, tendrían que ser una misma recta.
El segundo hecho tiene una excepción importante: las rectas paralelas nunca se encuentran, así que su número de intersecciones es cero. Y cuando una recta se encuentra con un plano, la historia cambia otra vez: una recta atraviesa un plano en exactamente un punto.
Planos y sus uniones
Una hoja de papel, una pared, un lago quieto: cada uno cumple el papel de un plano: plano, recto y extendido infinitamente. El papel real tiene bordes; un plano matemático no. Dondequiera que dos planos se encuentren, la unión siempre es una recta:
- El techo y una pared se intersectan a lo largo de una arista perfectamente recta;
- En la esquina de una habitación, dos paredes y el piso se intersectan por pares, produciendo tres rectas, y esas tres rectas pasan por un solo punto.
Los cuerpos sólidos se construyen exactamente con esas caras, rectas y puntos; la lección sobre cuerpos sólidos cuenta esa historia.
Prueba la matemática
Una recta que pasa por A y B
Solo por el punto A puedes dibujar infinitas rectas: fija tu lápiz en A y gíralo alrededor. Solo por B, también infinitas. Pero por A y B a la vez pasa exactamente una recta. Infinito más infinito, y aun así una restricción extra hace que la respuesta sea única.
Cuenta la esquina
Una esquina de una habitación está encerrada por tres planos: dos paredes y el piso. Al encontrarse por pares, producen una unión cada uno: 3 rectas en total, y las tres rectas pasan apretadas por el mismo punto. Cuéntalo al revés: una esquina es 1 punto, 3 rectas y 3 planos. La geometría nunca se inventa de la nada; se esconde en la misma habitación que te rodea.
Sigue caminando por puntos y rectas, y se abrirán en ángulos.
Compruébalo tú mismo
Cuestionario rápido
1. ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos diferentes?
2. ¿Qué tipo de recta tiene una longitud medible?
3. Dos planos no paralelos se intersectan en ¿qué?