Geometría
Teorema de Pitágoras
La regla escondida en todo triángulo rectángulo: los cuadrados de los catetos suman el cuadrado de la hipotenusa.
Las historias cuentan que hace cuatro mil años, los constructores egipcios estiraban una cuerda dividida en 12 partes iguales para formar un triángulo 3-4-5 (, usando todas las partes), y siempre que los lados quedaban en esa razón, la esquina era un ángulo recto perfecto. No conocían el álgebra, pero ya estaban usando el teorema de Pitágoras.
Conoce el triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de exactamente 90°. Sus tres lados tienen nombres:
- Los dos lados que tocan el ángulo recto son los catetos;
- El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, siempre el más largo.
El teorema: una historia de tres cuadrados
Construye un cuadrado sobre cada uno de los tres lados. Hace más de dos mil años, los seguidores de Pitágoras notaron una relación que nunca falla:
Las áreas de los dos cuadrados sobre los catetos suman exactamente el área del cuadrado grande sobre la hipotenusa. Con catetos 3 y 4: , así que la hipotenusa es 5.
La relación también funciona al revés: si los cuadrados de los dos lados más cortos suman el cuadrado del lado más largo, el triángulo debe contener un ángulo recto; no necesitas transportador, solo aritmética. Los seguidores de Pitágoras incluso lo trataban como un rompecabezas: corta los dos cuadrados de los catetos y sus piezas siempre pueden reacomodarse para formar el cuadrado grande de la hipotenusa.
Arrastra los catetos y observa cómo responden los tres cuadrados:
Cómo usar
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²
Hipotenusa c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!
Ternas pitagóricas: tríos listos para usar
Los triángulos rectángulos cuyos tres lados son números enteros tienen combinaciones famosas llamadas ternas pitagóricas:
- : porque ;
- : escala 3-4-5 por 2 y el ángulo recto se conserva;
- : porque .
Y la lista nunca se agota: multiplica 3-4-5 por 3 para obtener 9-12-15, por 4 para obtener 12-16-20; toda copia a escala funciona, porque multiplicar solo agranda el triángulo.
Memoriza 3-4-5 y podrás sacar un ángulo recto de tu bolsillo en una obra, un plano de planta o una cuadrícula.
Ejemplo resuelto: una escalera contra una pared
Escalera contra una pared
Una escalera de 5 metros se apoya contra una pared, con su base a 3 metros de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la parte superior?
La escalera es la hipotenusa , la distancia a la pared es un cateto , y la altura es :
La parte superior queda a 4 metros sobre el suelo. Para encontrar un cateto, restas; para encontrar la hipotenusa, sumas. Identifica primero la hipotenusa y la fórmula nunca se invierte.
Solo triángulos rectángulos
El teorema de Pitágoras es propiedad exclusiva de los triángulos rectángulos. En un triángulo con lados 4, 5 y 6, : si el triángulo no es rectángulo, la fórmula no aplica. Confirma que exista un ángulo de 90° antes de calcular.
Compruébalo tú mismo
Cuestionario rápido
1. Un triángulo rectángulo tiene catetos 6 y 8. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
2. ¿Un triángulo con lados 5, 12 y 13 es rectángulo?
3. ¿A qué triángulos se aplica el teorema de Pitágoras?