Arcos y sectores

Llega una pizza y te cortas una rebanada. Vale la pena medir dos cosas de esa rebanada: qué tan larga es la orilla y cuánta pizza cubre. Cada una es una parte de un círculo: un arco y un sector. ¿Y qué tan grande es esa parte? Un número lo decide: el ángulo central.

El ángulo central determina la parte

El ángulo entre dos radios dibujados desde el centro es el ángulo central. El círculo completo mide $360°$ , así que un ángulo de $n$ te da una fracción natural:

$\frac{n}{360}$

Una rebanada de $90°$ toma $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ del círculo: un cuarto de la orilla y un cuarto de la pizza. El arco y el sector siempre avanzan juntos, y esa regla de sincronía es exactamente la razón por la que funcionan las gráficas circulares.

InteractivoCortador de sectores

Cómo usar

Radio r3

Diámetro d

d = 6

Circunferencia C = 2πr

C = 18.85

Área A = πr²

A = 28.27

C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27

Usa el explorador para ajustar un radio y leer la circunferencia y el área completas. Luego corta usando la fracción del ángulo central: tanto la longitud del arco como el área del sector quedan listas.

Dos fórmulas: una parte de cada una

$L = \frac{n}{360} \times 2\pi r \qquad S = \frac{n}{360} \times \pi r^2$

Las fórmulas son gemelas con bases distintas: la longitud del arco toma su parte de la circunferencia, el área del sector toma su parte del área. Tomar la base equivocada es el desliz más común.

Toma la base correcta

Para un arco de $60°$ con radio 3: $\frac{1}{6} \times 2\pi \times 3 = \pi \approx 3.14$ . Si tomas el área como base por error, obtienes $\frac{1}{6} \times 9\pi \approx 4.71$ : aproximadamente la mitad de más.

Ejemplo resuelto: un sector de 90°

Radio 6, ángulo central $90°$ :

fracción: $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$
longitud del arco $L = \frac{1}{4} \times 2\pi \times 6 = 3\pi \approx 9.42$
área $S = \frac{1}{4} \times \pi \times 6^2 = 9\pi \approx 28.27$

La pregunta de la pizza justa

Ocho personas comparten una pizza y cada rebanada debe ser igual. ¿Qué ángulo central? $360° \div 8 = 45°$ . ¿Quieres el doble de orilla? Corta un ángulo más grande: con el radio fijo, tanto el arco como el área responden solo al ángulo central.

Arcos y sectores a tu alrededor

Rebanadas de pizza, aspas de ventilador, la región que recorre la manecilla de un reloj, cada porción de una gráfica circular: todos son sectores. Para compararlos, usa este mantra: encuentra primero la fracción y luego multiplica por el total. Para practicar más el pensamiento con fracciones, ve a Porcentajes.

Revisa tu comprensión

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. Un arco de 180° es ¿qué fracción de la circunferencia?
2. Radio 6, ángulo central 90°: ¿cuál es la longitud del arco?
3. El radio se mantiene fijo, pero el ángulo central se duplica. El área del sector…