Identidades trigonométricas

En la lección anterior, sen, cos y tan parecían tres entradas de tabla sin relación. En realidad son una familia: para cualquier ángulo dado, las tres razones satisfacen ecuaciones que se cumplen siempre y en todas partes: identidades trigonométricas. La más famosa es simplemente el teorema de Pitágoras con otra vestimenta. En esta lección la derivamos directamente desde la geometría y luego usamos identidades para simplificar una expresión.

sen y cos en el círculo unitario

Dibuja un círculo de radio 1 (el círculo unitario) centrado en el origen. Desde el centro, dibuja un radio que forme un ángulo $\theta$ con el eje x y que se encuentre con el círculo en un punto. Ese punto tiene coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$: el coseno es la coordenada horizontal, el seno la vertical.

¿Por qué? Completa el triángulo: el radio es la hipotenusa, y los segmentos horizontal y vertical son los catetos. El radio mide 1, así que es la hipotenusa; el cateto adyacente a $\theta$ es la coordenada horizontal y el cateto opuesto a $\theta$ es la vertical. Las definiciones de trigonometría dividen entre la hipotenusa, y dividir entre 1 no cambia nada, así que las razones simplemente son las coordenadas. El círculo unitario eleva la trigonometría de una propiedad de triángulos a la posición de un punto, y de paso resuelve una vieja pregunta: ¿por qué sen y cos nunca salen del rango de −1 a 1? El valor absoluto de una coordenada nunca supera la distancia del punto al centro, y en un círculo de radio 1, esa distancia es exactamente 1.

El otro nombre del teorema de Pitágoras

El punto está sobre el círculo unitario, así que su distancia al origen siempre es 1. Aplica la fórmula de distancia (que es el teorema de Pitágoras) a $(x, y)$: $x^2 + y^2 = 1$. Sustituye $x = \cos\theta$ y $y = \sin\theta$:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

Esta es la identidad pitagórica, y se cumple para todo ángulo. Compruébala con la tabla de la lección anterior: en $\theta = 30^\circ$, $0.5^2 + 0.866^2 \approx 0.25 + 0.75 = 1$; en $\theta = 45^\circ$, $0.707^2 + 0.707^2 \approx 0.5 + 0.5 = 1$. No hay excepciones: el extremo de todo ángulo cae sobre el círculo unitario.

Cómo usar

Cateto a3Cateto b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

Hipotenusa c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

Arrastra los dos catetos y observa las áreas de los tres cuadrados. Mantén un ojo en esto: el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los dos cuadrados sobre los catetos. Reduce la hipotenusa a 1: su cuadrado tiene área 1, y los dos cuadrados de los catetos son exactamente $\cos^2\theta$ y $\sin^2\theta$. La identidad es el teorema de Pitágoras viviendo en el círculo unitario.

La identidad del cociente: de dónde sale tan

Tan tiene una definición propia: ¿puede escribirse usando sen y cos? Divide el numerador y el denominador de "opuesto ÷ adyacente" entre la hipotenusa; la razón no cambia, y lo que queda son dos razones familiares dividiéndose entre sí:

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Esta identidad del cociente también coincide con la tabla: $\tan 45^\circ = 0.707 \div 0.707 = 1$, y $\tan 30^\circ = 0.5 \div 0.866 \approx 0.577$. Su significado va más allá: de las tres razones, solo dos son independientes. La tercera queda determinada por las dos primeras: si conoces sen y cos, tan viene gratis.

Simplificar con identidades

Una identidad es un "permiso de reordenamiento": sus dos lados siempre son iguales, así que puedes intercambiarlos cuando quieras. Simplificar significa reescribir una expresión en una forma más sencilla.

En Reglas del seno y del coseno, estas razones salen de los triángulos rectángulos para abordar los oblicuángulos.

Comprueba lo aprendido

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. En θ = 45°, ¿a qué es igual sen²θ + cos²θ?

   0.51aproximadamente 1.41

2. 2. Un ángulo agudo θ cumple senθ = 0.6. ¿Cuál es cosθ?

   0.40.80.64

3. 3. Simplifica 1 − sen²θ.

   cos²θsenθ1 − cos²θ