Logaritmos

La multiplicación tiene a la división como reverso, elevar al cuadrado tiene a las raíces cuadradas de compañera, ¿y los exponentes? Su inverso es el logaritmo. $2^3 = 8$; preguntado al revés, "¿2 elevado a qué potencia da 8?", la respuesta 3 se escribe $\log_2 8 = 3$. No dejes que el nuevo símbolo te asuste: es una abreviatura para una pregunta exponencial.

Rebobinar una potencia

Más formalmente: si $a^c = b$, escribimos $\log_a b = c$. El lado izquierdo pregunta "cuántas potencias de a forman b", y el lado derecho es la respuesta. Ambas escrituras dicen lo mismo:

$2^5 = 32 \quad \Longleftrightarrow \quad \log_2 32 = 5$

$10^3 = 1000 \quad \Longleftrightarrow \quad \lg 1000 = 3$

Comprobarlo siempre es el mismo movimiento: vuelve a poner c en el exponente y mira si regresa b. Este rebobinado es la misma idea que una raíz cuadrada deshaciendo un cuadrado: las operaciones inversas existen para pasar la película hacia atrás.

Máquina de potencias, máquina de logaritmos

Cómo usar

Una regla secreta se esconde dentro de la máquina. ¡Dale números y adivina la regla!

Entrada

? ? ?

Salida

—

Revelar reglaNueva regla

Una regla se esconde dentro de la máquina: dale una entrada, observa la salida y adivina la regla. Después de jugar, piensa hacia atrás: si la regla es $x^2$, la máquina que la deshace es la raíz cuadrada; si la regla es $2^x$, la máquina inversa convierte 8 de vuelta en 3 y 32 de vuelta en 5, y esa máquina de rebobinado es el logaritmo. Las máquinas inversas intercambian entrada y salida. El nombre formal de una máquina así es una función; allí reciben mucho más protagonismo.

Dos leyes de los logaritmos

El talento más agradable de los logaritmos: bajan las operaciones difíciles un nivel.

En el mundo de los exponentes	En el mundo de los logaritmos	Comprobación numérica
Multiplicar	se convierte en sumar	$\lg 100 + \lg 1000 = 2 + 3 = 5 = \lg 100000$ ✓
Potencias	se convierten en coeficientes	$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\log_2 2 = 3$ ✓

Que multiplicar se convierta en sumar se ve de un vistazo: $100 = 10^2$ y $1000 = 10^3$, y multiplicar los números suma los exponentes, $2 + 3 = 5$; por eso los logaritmos también se suman. Que una potencia se convierta en coeficiente es igual de útil: 8 ya es $2^3$, y el logaritmo simplemente baja el exponente 3.

Una regla para órdenes de magnitud

Los logaritmos nacieron para números que saltan a través de muchos ceros. La notación científica comprime números grandes en potencias de diez; el logaritmo va más allá: lee el exponente directamente como una marca en la regla: cada ×10 en el valor mueve la escala un paso.

• La escala de Richter para terremotos es una regla de este tipo: un paso hacia arriba en magnitud significa diez veces la amplitud del suelo. Las magnitudes 6 y 4 difieren en 2 pasos, así que la amplitud difiere $10^2 = 100$ veces.
• El pH de una solución funciona de la misma manera: se define como $-\lg c$ (c es la concentración de iones de hidrógeno). Un pH de 3 está 3 pasos por debajo de un pH de 6, así que su concentración es $10^3 = 1000$ veces mayor: mucho más ácida.

Coloca números en una regla logarítmica y tamaños enormemente distintos caben en una sola imagen.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. ¿Cuánto es log₂32?

   456

2. 2. log₂4 + log₂8 equivale al log₂ de ¿qué?

   log₂12log₂32log₂6

3. 3. La solución A tiene pH 3 y la solución B tiene pH 6. ¿La concentración de iones de hidrógeno de A es cuántas veces la de B?

   2 veces100 veces1000 veces