Sucesiones y series

Los números alineados en orden forman una sucesión: 1, 3, 5, 7, … cada número es un término. Patrones numéricos te pidió adivinar hacia dónde van esas filas; aquí llevamos hasta el final a los dos grupos más comunes — aritmético y geométrico — y conocemos el gran paraguas para sumar: Σ.

Sucesiones aritméticas: pasos constantes

Cuando cada término supera al anterior por el mismo número, la fila es una sucesión aritmética, y ese número es la diferencia común d. Mira 3, 7, 11, 15, …:

Vista recursiva: siguiente término = término actual + 4;
Vista explícita: el término n-ésimo es $a_n = 3 + (n-1) \times 4$ , así que el décimo término es $3 + 36 = 39$ .

La recursión es la orden de entrenamiento “mantente pegado a la persona de adelante”; la fórmula explícita es una lista de integrantes: di un número, encuentra a la persona directamente, sin contar desde el frente.

El atajo de parejas de Gauss

¿Cuánto es 1 + 2 + … + 100? La leyenda dice que el joven Gauss respondió 5050 antes de que el maestro terminara de leer. Su truco: emparejar los extremos.

$1 + 2 + \cdots + 100 = (1+100) + (2+99) + \cdots = 101 \times 50 = 5050$

100 números forman 50 parejas, cada pareja suma 101. En general, la serie aritmética suma

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Compruébalo con un grupo pequeño

La sucesión aritmética 3, 7, 11, …, 39 tiene 10 términos. Fórmula: $S_{10} = \frac{10 \times (3+39)}{2} = 210$ . Emparejamiento honesto: 3+39=42, 7+35=42, las cinco parejas son 42, $42 \times 5 = 210$ . Dos caminos, una respuesta.

Sucesiones geométricas: cada vez más rápido

Cuando cada término se multiplica por el mismo número, la fila es una sucesión geométrica, y ese número es la razón común r. Para 1, 2, 4, 8, … la forma explícita es $a_n = 2^{n-1}$ , y el vigésimo término ya alcanza $2^{19} = 524288$ . La curva siempre creciente del interés compuesto es exactamente crecimiento geométrico.

Doblar una hoja 42 veces

Una hoja de 0.1 mm de grosor duplica su espesor con cada doblez: después de 42 dobleces mide $0.1 \times 2^{42}$ mm, aproximadamente $4.4 \times 10^{11}$ mm, unos 440000 km, más allá de los 380000 km hasta la Luna. Ninguna hoja puede sobrevivir realmente 42 dobleces, pero los números sí se atreven a crecer.

Leer el signo de sumatoria Σ

La letra griega mayúscula Σ (sigma) es una abreviatura de “súmalos todos”:

$\sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + \cdots + 100 = 5050$

Se lee como “haz que k vaya de 1 a 100 y suma cada valor”. k es el índice de sumatoria: el subíndice es el inicio, el superíndice el final. Una lectura más: $\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$ . Y algunas sumas nunca llegan del todo: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ se sigue acercando a 2, pero siempre queda un poco corta; la historia de las series infinitas continúa en Límites.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. ¿Cuál es el término 20 de la sucesión aritmética 5, 9, 13, …?
2. ¿Cuánto es 1 + 2 + 3 + … + 100?
3. ¿Cuál es la regla de la sucesión 2, 6, 18, 54, …?