Exponentes

$2 \times 2 \times 2 \times 2$ es tedioso de escribir, así que los matemáticos lo abrevian como $2^4$ . No subestimes este atajo: la multiplicación comprime la suma repetida, y los exponentes comprimen la multiplicación repetida. Imagina doblar una hoja de papel: 2 capas después de un doblez, 4 después de dos... diez dobleces hacen $2^{10} = 1024$ capas.

Base y exponente: abreviatura de multiplicación repetida

$a^n$ se lee "a elevado a la potencia n": $a$ es la base, $n$ es el exponente, y significa n copias de a multiplicadas entre sí.

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

Cuidado: $2^4 \neq 2 \times 4$ . El exponente dice "multiplica esta cantidad de veces", no "multiplica por esto".

¿El signo menos está dentro de los paréntesis?

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ : el signo está dentro, así que también se eleva al cuadrado. $-2^2 = -(2^2) = -4$ : el signo está afuera, así que primero elevas al cuadrado y después niegas. Un par de paréntesis, un signo cambiado: la misma historia que sustituir $x = -2$ en $x^2$ (ver Sustitución).

Tres leyes de los exponentes

Cuando se encuentran potencias con la misma base, los exponentes siguen reglas claras:

Operación	Ley	Comprobación numérica
Multiplicación con la misma base	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^2 \times 2^3 = 4 \times 8 = 32 = 2^5$ ✓
División con la misma base	$a^m \div a^n = a^{m-n}$	$2^5 \div 2^2 = 32 \div 4 = 8 = 2^3$ ✓
Potencia de una potencia	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(3^2)^2 = 9^2 = 81 = 3^4$ ✓

La razón es fácil de ver: $2^2 \times 2^3$ son dos 2 multiplicados por tres 2 más: cinco 2 en total, así que los exponentes se suman.

Verifica una ley por tu cuenta

Calcula $(10^2)^3$ de la manera directa: $10^2 = 100$ , luego $100 \times 100 \times 100 = 1000000$ . Por la ley: multiplica los exponentes, $2 \times 3 = 6$ , lo que da $10^6 = 1000000$ . Dos caminos, una respuesta.

Por qué la potencia cero es 1

$a^0 = 1$ no es un decreto arbitrario: observa el patrón:

$2^4 = 16, \quad 2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2$

Cada paso a la derecha baja el exponente en 1 y divide el valor entre 2. Sigue el ritmo hasta el final: $2^0 = 2 \div 2 = 1$ . El mismo razonamiento funciona para cualquier base, siempre que $a \neq 0$ : $a^0 = 1$ .

Cuadrados, cubos y números demasiado grandes para escribir

Dos nombres que vale la pena conocer: $a^2$ es "a al cuadrado", porque el área de un cuadrado es la longitud del lado al cuadrado; $a^3$ es "a al cubo", porque el volumen de un cubo es la longitud de la arista al cubo. Las potencias mayores son simplemente "a a la n".

Los exponentes realmente brillan con números grandes. El valor posicional mostró cómo las potencias de diez ubican cada dígito; la notación científica va un paso más allá, comprimiendo cualquier número grande en "un número por una potencia de diez".

¿Qué tan rápida es la luz?

La luz viaja aproximadamente 300000000 metros por segundo: un 3 seguido de ocho ceros. En notación científica eso es $3 \times 10^8$ m/s: mueve el punto decimal ocho lugares a la derecha y vuelve el número original. Mucho más fácil de escribir, y de leer, que una cadena de ceros.

Comprueba lo que sabes

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. ¿Cuánto es 2³×2²?
2. ¿Cuánto es 5⁰?
3. ¿Cuánto son (-2)² y −2²?