Valor Esperado

Uma barraca justa rola um dado: tire 6 e ganhe 6 yuans, qualquer outra coisa não ganha nada. Uma jogada "talvez" te renda 6 yuans — mas e se você jogar a tarde inteira? Quanto vale cada turno em média? Esta pergunta tem uma resposta exata, chamada de valor esperado.

Probabilidades como pesos

Para um dado justo, o valor esperado da rolagem é $(1+2+3+4+5+6) \div 6 = 3.5$ . A receita padrão multiplica cada resultado por sua probabilidade e soma tudo:

$1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Resultados prováveis têm mais influência — a mesma ideia das médias ponderadas de média, mediana e moda, com probabilidades usando os pesos. Observe: nenhuma face do dado mostra 3.5. Não é o resultado de nenhuma rolagem individual, mas o valor para o qual a média de longo prazo se aproxima.

InterativoLaboratório de Cara ou Coroa

Como usar

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Taxa de caras

Quanto mais você joga, mais a taxa de caras se aproxima de 50% — essa é a lei dos grandes números.

Use-o na aposta mais simples de todas: cara ganha 1 yuan, coroa perde 1 yuan. A expectativa é $1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0$ — um empate, um "jogo justo". Jogue 10 vezes e a proporção de caras pode variar bastante; jogue 1000 vezes e ela se aproxima de 50%. Expectativa não é uma promessa para uma rodada — é a média de longo prazo que a lei dos grandes números entrega.

Calcule a expectativa de uma loteria

Vale a pena a rifa?

Uma rifa vende 100 bilhetes: 1 ganha 100 yuans, 4 ganham 25 yuans cada, e os outros 95 não ganham nada. Um bilhete custa 3 yuans. O prêmio esperado por bilhete é

$100 \times \frac{1}{100} + 25 \times \frac{4}{100} + 0 \times \frac{95}{100} = 1 + 1 + 0 = 2$

Pague 3, receba 2 em média — o prêmio esperado é 2 yuans, então a expectativa líquida é $2 - 3 = -1$ yuan: cada bilhete custa 1 yuan em média.

Expectativa não é um resultado único

Compre um bilhete e você nunca terá "2 yuans": você ganha 100, ou 25, ou 0. Expectativa é um nível médio ponderado, não uma garantia para um sorteio — um resultado individual pode estar bem longe dela. Mas à medida que o número cresce, a média se aproxima cada vez mais da expectativa: no experimento da moeda, após 1000 lançamentos, a proporção de caras parou de se afastar de 50%. Uma aposta depende da sorte; dez mil apostas dependem da expectativa.

Por que a casa sempre vence

Em um cassino, a expectativa de cada jogo é negativa para o jogador. Pegue a roleta: a roda europeia tem 37 casas — 18 vermelhas, 18 pretas, 1 zero. Aposte 1 yuan no vermelho: probabilidade de ganhar $\frac{18}{37}$ , probabilidade de perder $\frac{19}{37}$ , então a expectativa é

$1 \times \frac{18}{37} + (-1) \times \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$

Perder menos de 3 centavos por yuan apostado parece inofensivo? Milhões de jogadores fazem bilhões de apostas, e cerca de 2.7 centavos vão embora de cada yuan — a casa dorme tranquilamente. O −1 yuan da rifa e o −0.027 yuan da roda compartilham a mesma moral: quando a expectativa é negativa, quanto mais você joga, mais pontualmente você perde. Para continuar explorando probabilidade, visite probabilidade; eventos combinados esperam em probabilidade composta.

Verifique seu conhecimento

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Uma rolagem de um dado justo: qual é o valor esperado do número mostrado?
2. 10 canudos escondem um prêmio de 9 yuans, os restantes são em branco. Você sorteia um de graça — qual é o prêmio esperado?
3. Um jogo tem uma expectativa de −0.5 yuan por jogada. Após cerca de 1000 jogadas, você terá...