Probabilidade Composta e Diagramas de Árvore

Na introdução à probabilidade você aprendeu chances de uma etapa: uma moeda dá cara com probabilidade $\frac{1}{2}$ . Mas a vida frequentemente acontece em duas etapas seguidas — jogar duas moedas, tirar duas cartas, lançar um dado e depois jogar uma moeda. Como funcionam as probabilidades de duas etapas? A resposta começa com o desenho de uma árvore.

O diagrama de árvore: desenhando os garfos

Jogue duas moedas. Cada moeda é um garfo na estrada. Desenhe:

Primeira moeda cara
- Segunda moeda cara → cara-cara
- Segunda moeda coroa → cara-coroa
Primeira moeda coroa
- Segunda moeda cara → coroa-cara
- Segunda moeda coroa → coroa-coroa

Há $2 \times 2 = 4$ caminhos completos da raiz à ponta. Cada caminho passa por duas escolhas de $\frac{1}{2}$ , então cada caminho tem probabilidade

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Quatro caminhos igualmente prováveis, um quarto cada — uma vez que a árvore é desenhada, as respostas já estão no papel.

Multiplique pelos ramos, some entre garfos

Dois lemas escondem-se atrás da árvore:

"E" significa multiplicar: quando o resultado desejado deve passar por vários portões em sequência, multiplique as probabilidades dos portões. Duas caras? $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ;
"OU" significa somar: quando vários caminhos não sobrepostos todos contam, some suas probabilidades. "Pelo menos uma cara" cobre cara-cara, cara-coroa e coroa-cara: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

'Pelo menos um' é maior que a intuição

Muitas pessoas adivinham metade para "pelo menos uma cara", porque parece um evento único. Na árvore, isso ocupa três caminhos — somente coroa-coroa falha. Contar caminhos não sobrepostos um a um é o maior serviço que o diagrama de árvore presta.

Dado mais moeda

Lance um dado e jogue uma moeda; encontre "um seis e cara". As duas etapas não se perturbam (eventos independentes), então multiplique pelo ramo: $P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ . E quanto a "um seis ou cara"? $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ — o caminho que satisfaz ambos, $\frac{1}{12}$ , só pode ser adicionado uma vez.

Com reposição, ou sem

Um saco contém 3 bolas de gude, 2 vermelhas e 1 azul; tire duas vezes. Se cada bola de gude volta para dentro, o segundo portão mantém sua probabilidade: duas vermelhas é $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ . Sem reposição, depois de tirar uma vermelha, o saco contém 1 vermelha e 1 azul, então o segundo portão muda: duas vermelhas é $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ . A árvore ainda funciona — a segunda camada de ramos apenas carrega novas probabilidades. Antes de desenhar qualquer árvore, sempre pergunte: com reposição ou sem?

InterativoLaboratório de Eventos Independentes

Como usar

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Taxa de caras

Quanto mais você joga, mais a taxa de caras se aproxima de 50% — essa é a lei dos grandes números.

Multiplicar pelos ramos só é válido quando as duas etapas não interferem. Jogue 100, depois 1000 vezes e observe: a proporção de caras se assenta firmemente em torno de $\frac{1}{2}$ — cada jogada começa do zero, não tocando em mais nada. Isso é o que "independente" significa.

Verifique-se

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Duas moedas são jogadas. Qual é a probabilidade de exatamente uma cara e uma coroa?
2. Um dado é lançado e uma moeda é jogada. Qual é a probabilidade de 'um seis e cara'?
3. Um saco contém 2 bolas de gude vermelhas e 1 azul. Sem reposição, qual é a chance de ambas as retiradas serem vermelhas?