Produtos Notáveis de Binômios

Algumas pessoas conseguem dizer $35^2 = 1225$ instantaneamente. O segredo delas não é cálculo mental relâmpago, mas sim um punhado de produtos notáveis memorizados: divida 35 em $30 + 5$ e uma fórmula termina o trabalho em três passos. Hoje damos boas-vindas aos dois mais úteis.

A armadilha clássica

Faça um experimento rápido: $(3+4)^2$ e $3^2 + 4^2$ são iguais? O primeiro é $7^2 = 49$ , o segundo é apenas $9 + 16 = 25$ — uma diferença de 24. Distribuir o quadrado para cada termo dentro dos parênteses é o erro mais persistente que ficou de expansão de parênteses.

Expanda honestamente, tudo vezes tudo:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Esse termo do meio $2ab$ é exatamente a origem da diferença entre 25 e 49 ( $2 \times 3 \times 4 = 24$ ). Troque $b$ por $-b$ e você obtém a segunda identidade:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Por exemplo, $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ — o termo do meio tem sinal de menos, e ainda assim não pode desaparecer.

Veja 2ab em uma imagem

Não precisa memorizar às cegas. Desenhe um quadrado grande de lado $(a+b)$ e corte-o uma vez na horizontal e uma vez na vertical, criando quatro partes: dois quadrados $a^2$ e $b^2$ , mais dois retângulos idênticos $ab$ . A área total $a^2 + ab + ab + b^2$ é exatamente o lado direito da fórmula.

Teste com números: $a = 3$ , $b = 4$ dá partes de 9, 12, 12 e 16, totalizando $49 = 7^2$ . Os dois 12 são $2ab$ . Na grade abaixo, defina largura e altura como 7 e conte 49 quadrados unitários — depois imagine os dois cortes. Esse quebra-cabeça funciona para quaisquer $a$ e $b$ .

InterativoGrade de Área

Como usar

Largura w5Altura h4

Área = comprimento × largura=5 × 4 = 20quadrados unitários

Diferença de quadrados, por cortar e colar

A terceira identidade é ainda mais elegante: $(a+b)(a-b)$ . Expandindo, obtemos $a^2 + ab - ab - b^2$ , e os termos do meio se cancelam, deixando

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Vista como área: corte um canto de lado $b$ de um quadrado $a \times a$ e sobra uma peça em forma de L com área $a^2 - b^2$ ; deslize a faixa vertical para o lado da faixa horizontal e ela se torna um retângulo exato $(a+b) \times (a-b)$ — corte uma peça, remende outra, a área não muda.

Também é um superpoder de cálculo mental: $42 \times 38 = (40+2)(40-2) = 1600 - 4 = 1596$ .

Use as fórmulas e depois verifique

Expandindo (2x+3)²

Trate $2x$ como $a$ e 3 como $b$ : $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$ . Verifique com $x = 1$ : o lado esquerdo é $(2+3)^2 = 25$ e o lado direito é $4 + 12 + 9 = 25$ — eles concordam. A técnica de verificação mora em substituição, o seguro mais firme que um usuário de fórmulas pode comprar.

Para onde foi o termo do meio

Dois erros frequentes: $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ e $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$ — ambas as respostas corretas carregam um termo do meio $\pm 2ab$ . Antes de expandir, faça uma pergunta: onde está o termo do meio?

As fórmulas também funcionam ao contrário: encontre $x^2 + 6x + 9$ , reconheça $(x+3)^2$ — e isso já é tarefa de fatoração.

Verifique você mesmo

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Qual é a expansão de (x + 4)²?
2. Qual é a expansão de (x + 7)(x − 7)?
3. Use a diferença de quadrados para calcular 43 × 37 de cabeça. Qual é o resultado?