Fatoração

Qualquer pessoa consegue calcular $3 \times 4 = 12$; mas olhar para 12 e saber que ele se separa em $3 \times 4$ — esse é o olhar de quem fatora. A álgebra tem as mesmas duas direções: transformar $3(x + 2)$ em $3x + 6$ é seguir rio abaixo; empacotar $3x + 6$ de volta em parênteses como $3(x + 2)$ é o trabalho de hoje, fatorar. Em Variáveis e a Máquina de Funções, você já brincou de "adivinhar a regra a partir da saída" — fatorar é exatamente isso: descobrir a regra de trás para frente a partir do resultado.

Primeiro movimento: coloque o fator comum para fora

Observe $6x + 9$: os coeficientes 6 e 9 compartilham o fator 3, então leve-o para fora dos parênteses:

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

O que fica dentro? Cada termo dividido pelo fator comum: $6x \div 3 = 2x$ e $9 \div 3 = 3$. Confira expandindo: $3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ — uma combinação perfeita. O fator comum também pode carregar uma letra: $5x^2 + 10x = 5x(x + 2)$.

Segundo movimento: decomponha $x^2 + bx + c$

Objetivo: $x^2 + 5x + 6$. Para escrevê-lo como $(x + \square)(x + \square)$, os dois números nas caixas devem ter produto 6 e soma 5. Procure: $2 \times 3 = 6$ e $2 + 3 = 5$ — é este par:

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Sempre verifique expandindo: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$, encaixe por encaixe.

Terceiro movimento: diferença de quadrados

Um "quadrado menos quadrado" como $x^2 - 9$ tem uma decomposição fixa:

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Verifique expandindo: $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3x + 3x - 9$ — os dois termos do meio se cancelam, restando $x^2 - 9$. Qualquer expressão da forma $a^2 - b^2$ se decompõe como $(a + b)(a - b)$. Identificar os quadrados é o primeiro passo: $x^2$ é $x \cdot x$ e $9$ é $3^2$ — a lição de casa de Expoentes compensa aqui.

Observe a direção: a diferença de quadrados $x^2 - 9$ se decompõe; $x^2 + 9$ é uma soma de quadrados — por enquanto, lembre-se de que ela não se decompõe.

Mira da Fatoração

Como usar

Uma regra secreta se esconde dentro da máquina. Alimente-a com números e adivinhe a regra!

Entrada

? ? ?

Saída

—

Revelar regraNova regra

A máquina processa a regra "vezes 3, depois mais 2" para produzir a saída $3x + 2$ — isso é expandir, rio abaixo. Fatorar é subir o rio: encarar $3x + 2$ e perguntar "qual regra construiu você?" Percorra várias regras na máquina e sinta a dupla em ação — expandir rio abaixo, fatorar rio acima.

Para que serve

Sua entrada em cena é dramática: resolver equações. Depois que $(x - 5)(x + 2) = 0$ está fatorado, as respostas saem sozinhas — $x = 5$ ou $x = -2$. Em Equações quadráticas, a fatoração é a primeira chave da porta.

Confira você mesmo

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Qual é a fatoração de 6x + 9?

   3(2x + 3)3(2x + 9)6(x + 3)

2. 2. Qual é a fatoração de x² + 7x + 10?

   (x + 2)(x + 5)(x + 1)(x + 10)(x - 2)(x - 5)

3. 3. Como x² - 16 se decompõe?

   (x + 4)(x - 4)(x - 4)²(x + 4)²