Expandindo Parênteses

$(x+2)(x+3)$ parece assustador, mas abri-lo exige apenas uma regra. Fatorar empacota uma expressão de volta em parênteses; hoje seguimos pelo caminho oposto e expandimos, colocando cada termo à luz do sol.

A propriedade distributiva: um anfitrião, todos os convidados

Quem estiver fora de um parêntese deve cumprimentar cada termo dentro dele. $3(x+4)$ significa 3 vezes $x$ e 3 vezes 4:

$a(b+c) = ab + ac$

$3(x+4) = 3x + 12$

Como um diagrama de setas: a partir do 3, uma seta aponta para $x$ , outra para 4, e cada ponto de chegada fica com sua parte. Esqueça uma seta e a resposta fica incompleta.

Dois parênteses: desenhe uma grade

Quando dois parênteses se multiplicam, a regra é tudo vezes tudo. Organize $(x+2)(x+3)$ como uma grade:

$\times$	$x$	$+3$
$x$	$x^2$	$3x$
$+2$	$2x$	$6$

Some as quatro células:

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Algumas pessoas chamam isso de FOIL — Primeiro, Externo, Interno, Último. É o mesmo trabalho da grade, usando outras palavras.

Os sinais são a zona de desastre

Os números raramente mordem; o sinal de menos, sim. Duas regras de combate:

Um sinal de menos antes de um parêntese é um $-1$ escondido multiplicando tudo, então todo termo troca de sinal: $-(x-4) = -x + 4$ ;
Quando um parêntese carrega seu próprio sinal de menos, o sinal viaja junto com o número: $(x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$ .

Um sinal de menos troca o sinal de todos lá dentro

O menos em $-(x-4)$ não controla apenas o primeiro termo. Ele multiplica $x$ e também $-4$ , então o resultado é $-x + 4$ , não $-x - 4$ . Verifique até onde o menos alcança antes de expandir.

A expansão está certa? Substitua um número

Expandir é fácil de errar — e igualmente fácil de conferir. Escolha qualquer $x$ ; os dois lados devem concordar. Tente $x = 1$ :

$(1+2)(1+3) = 3 \times 4 = 12 \qquad 1^2 + 5 \times 1 + 6 = 12$

Os dois lados dão 12, então a expansão funciona. Para ter ainda mais confiança, tente também $x = 2$ (os dois lados dão 20). Essa é a mesma habilidade praticada em substituição.

InterativoExpansor

Como usar

Uma regra secreta se esconde dentro da máquina. Alimente-a com números e adivinhe a regra!

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Saída

—

A máquina não se importa com a aparência de uma expressão — só com o que sai para o $x$ que você coloca nela. $(x+2)(x+3)$ e $x^2+5x+6$ têm rostos diferentes, mas a mesma entrada produz a mesma saída. No fundo, expandir é reescrever a mesma máquina.

Confira você mesmo

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Qual é a expansão de 3(x + 5)?
2. Qual é a expansão de −(x − 4)?
3. Qual é a expansão de (x + 2)(x + 3)?