Fazendo Gráficos de Quadráticas

Depois que uma bola de basquete sai das suas mãos, seu caminho não é uma reta nem um arco circular, mas uma curva graciosa que sobe, atinge um pico e cai — uma parábola. Jatos de fonte e arcos de pontes carregam sua silhueta. Por trás da curva está uma função bem simples:

$y = ax^2 + bx + c$

Trace primeiro a parábola mais simples

Comece com $y = x^2$ e faça uma tabela de pontos (desenhada em coordenadas cartesianas):

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^2$	4	1	0	1	4

Conecte os pontos e aparece uma curva em forma de tigela. Observe sua simetria: $x = -2$ e $x = 2$ produzem o mesmo $y$ — elevar ao quadrado engole o sinal de menos. O ponto mais baixo $(0, 0)$ é o vértice, e a reta vertical que divide a curva em duas metades espelhadas é o eixo de simetria.

A direção de abertura lê a

$a > 0$ : a parábola abre para cima, como uma tigela, e o vértice é o mínimo;
$a < 0$ : ela abre para baixo, como um guarda-chuva, e o vértice é o máximo.

$|a|$ controla a construção: $y = 2x^2$ já chega a 2 em $x = 1$ , mais íngreme e mais estreita que $y = x^2$ , enquanto $y = 0.5x^2$ sobe devagar e parece mais larga. Se $a = 0$ , o termo quadrático desaparece e só resta $y = bx + c$ — a parábola se achata em uma reta. O coeficiente $a$ é a alma da parábola.

Eixo de simetria e vértice

Para a forma geral, o eixo de simetria é a reta vertical

$x = -\frac{b}{2a}$

e o vértice fica sobre ela. Por exemplo, $y = x^2 - 4x + 3$ tem eixo $x = -\frac{-4}{2} = 2$ e altura do vértice $4 - 8 + 3 = -1$ , isto é, $(2, -1)$ .

De onde vem a fórmula? Da simetria. Substitua $x = 1$ e você obtém 0; substitua $x = 3$ e obtém 0 de novo — dois pontos de mesma altura devem ficar simetricamente em torno do eixo, e o ponto médio deles $\frac{1+3}{2} = 2$ é exatamente ele.

Não deixe cair o sinal de menos

O sinal de menos inicial em $x = -\frac{b}{2a}$ é a coisa mais fácil de perder. Em $y = x^2 - 4x + 3$ , temos $b = -4$ , então $-\frac{-4}{2} = 2$ — negativo vezes negativo vira positivo, e o eixo cai no lado positivo.

O discriminante conta os interceptos

O número de cruzamentos com o eixo x é decidido pelo discriminante $b^2 - 4ac$ :

$b^2 - 4ac > 0$ : dois interceptos;
$b^2 - 4ac = 0$ : exatamente um — o vértice repousa no eixo x;
$b^2 - 4ac < 0$ : nenhum intercepto.

Para $y = x^2 - 1$ , o discriminante é $0 + 4 = 4 > 0$ , com interceptos em $x = \pm 1$ ; para $y = x^2$ , ele é 0, um intercepto; para $y = x^2 + 1$ , ele é $-4 < 0$ — até o mínimo fica 1 acima do chão, nunca alcançando o eixo x. O valor de x de um intercepto é uma solução de $y = 0$ , que é exatamente o assunto de equações quadráticas.

Esboce uma parábola inteira

Desenhe $y = x^2 - 2x - 3$ : o eixo é $x = \frac{2}{2} = 1$ , o vértice $(1, -4)$ , e o discriminante $4 + 12 = 16 > 0$ promete dois interceptos. Marque pontos: $x = -1$ dá 0, $x = 0$ dá $-3$ , $x = 3$ dá 0. A curva desce de $(-1, 0)$ até $(1, -4)$ e sobe de volta para $(3, 0)$ — vértice, eixo e interceptos todos concordam.

Quando a bola está mais alta

A altura de uma bola lançada é aproximadamente $h = -5t^2 + 20t$ (metros). Aqui $a = -5 < 0$ , então ela abre para baixo. O pico fica no eixo de simetria em $t = \frac{20}{10} = 2$ segundos, onde $h = -20 + 40 = 20$ metros. O discriminante $400 > 0$ dá dois zeros: lançamento em $t = 0$ , aterrissagem em $t = 4$ . Leia o vértice e tanto o "quando" quanto o "quão alto" são respondidos de uma vez.

Verifique você mesmo

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Para que lado y = −3x² abre?
2. Qual é o eixo de simetria de y = x² − 6x + 5?
3. Quantos interceptos em x y = x² + 2x + 5 tem?