Logaritmos

A multiplicação tem a divisão às suas costas, a potenciação tem as raízes quadradas como companhia — e os expoentes? Seu inverso é o logaritmo. $2^3 = 8$; perguntando ao contrário, "2 elevado a que potência dá 8?", a resposta 3 é escrita $\log_2 8 = 3$. Não deixe o novo símbolo te assustar: é uma abreviação para uma pergunta exponencial.

Rebobinando uma potência

Mais formalmente: se $a^c = b$, escrevemos $\log_a b = c$. O lado esquerdo pergunta "quantas potências de a formam b", e o lado direito é a resposta. Ambas as grafias dizem a mesma coisa:

$2^5 = 32 \quad \Longleftrightarrow \quad \log_2 32 = 5$

$10^3 = 1000 \quad \Longleftrightarrow \quad \lg 1000 = 3$

A verificação é sempre o mesmo movimento: coloque c de volta no expoente e veja se b retorna. Esse rebobinar é a mesma ideia de uma raiz quadrada desfazer um quadrado — operações inversas existem para rodar o filme ao contrário.

Máquina de potência, máquina de logaritmo

Como usar

Uma regra secreta se esconde dentro da máquina. Alimente-a com números e adivinhe a regra!

Entrada

? ? ?

Saída

—

Revelar regraNova regra

Uma regra está escondida dentro da máquina: alimente-a com uma entrada, observe a saída e adivinhe a regra. Depois de brincar, pense ao contrário — se a regra é $x^2$, a máquina que a desfaz é a raiz quadrada; se a regra é $2^x$, a máquina-desfaz vira 8 de volta em 3 e 32 de volta em 5, e essa máquina de rebobinar é o logaritmo. Máquinas inversas trocam entrada e saída. O nome formal para tal máquina é função — elas ganham muito mais destaque lá.

Duas leis dos logaritmos

O talento mais cativante dos logaritmos: eles rebaixam operações difíceis em um nível.

No mundo dos expoentes	No mundo dos logaritmos	Verificação numérica
Multiplicar	torna-se somar	$\lg 100 + \lg 1000 = 2 + 3 = 5 = \lg 100000$ ✓
Potências	tornam-se coeficientes	$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\log_2 2 = 3$ ✓

Multiplicar-vira-somar está a um olhar de distância: $100 = 10^2$ e $1000 = 10^3$, e multiplicar os números soma os expoentes, $2 + 3 = 5$ — então os logaritmos também somam. Potência-vira-coeficiente é igualmente útil: 8 já é $2^3$, e o logaritmo simplesmente abaixa o expoente 3.

Uma régua para ordens de magnitude

Os logaritmos nasceram para números que saltam através de muitos zeros. A notação científica comprime números grandes em potências de dez; o logaritmo vai além — ele lê o expoente diretamente como uma marca de escala: cada ×10 no valor move a escala um passo.

• A escala Richter para terremotos é tal régua: um passo para cima na magnitude significa dez vezes a amplitude do solo. Magnitudes 6 e 4 diferem por 2 passos, então a amplitude difere $10^2 = 100$ vezes.
• O pH de uma solução funciona da mesma forma: é definido como $-\lg c$ (c a concentração de íons de hidrogênio). pH 3 está 3 passos abaixo do pH 6, então sua concentração é $10^3 = 1000$ vezes maior — muito mais ácida.

Coloque números em uma régua logarítmica, e tamanhos muito diferentes cabem em uma única imagem.

Verifique-se

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Quanto é log₂32?

   456

2. 2. log₂4 + log₂8 é igual a log₂ de quê?

   log₂12log₂32log₂6

3. 3. A solução A tem pH 3 e a solução B tem pH 6. A concentração de íons de hidrogênio de A é quantas vezes a de B?

   2 vezes100 vezes1000 vezes