Ordre des opérations

Qu'est-ce que $2 + 3 \times 4$ ? En balayant de gauche à droite : $2+3=5$ , puis $5\times4=20$ . Pourtant, les mathématiciens disent que la réponse est 14. Personne ne s'est trompé — l'expression obéit simplement à un ensemble de règles que tout le monde doit partager : l'ordre des opérations. Sans lui, une même expression aurait plusieurs réponses « correctes », et les calculatrices ne pourraient jamais communiquer avec les gens.

Pourquoi la multiplication passe en premier

Imaginez $2 + 3 \times 4$ comme une scène réelle : vous tenez 2 bonbons, puis vous achetez 3 paquets de 4 chacun. Les paquets contiennent $3 \times 4 = 12$ bonbons, et ce paquet doit être attaché avant toute autre chose ; en ajoutant vos 2, cela fait 14. La multiplication décrit « 3 paquets de 4 », et le paquet doit être attaché en premier. L'addition et la soustraction ne font que déplacer des paquets, elles viennent donc naturellement en dernier.

L'échelle en quatre étapes

Les règles forment quatre niveaux, du plus haut au plus bas :

Parenthèses : calculées en premier — l'intérieur d'une parenthèse est un petit monde scellé ;
Puissances (exposants) : des choses comme $2^2$ et $5^3$ , juste derrière les parenthèses ;
Multiplication et division : un niveau, de gauche à droite ;
Addition et soustraction : un niveau, encore de gauche à droite.

Les moyens mnémotechniques anglais PEMDAS (Parenthèses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction) et BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Soustraction) décrivent la même échelle. Remarquez que dans les deux, M est à côté de D et A à côté de S — multiplication et division partagent un niveau, addition et soustraction un autre, et à l'intérieur d'un niveau, vous balayez de gauche à droite. Ce que sont les puissances, et pourquoi elles sont si haut placées, est le sujet des exposants.

Les parenthèses priment sur tout

$(2 + 3) \times 4$ : la parenthèse vous ordonne de calculer d'abord $2+3=5$ , puis de multiplier par 4, ce qui donne 20. Les mêmes trois nombres, une paire de parenthèses — la réponse passe de 14 à 20.

Un exercice complet

Enchaînez les quatre niveaux. À chaque étape, ne faites que le niveau actif le plus élevé et recopiez le reste tel quel.

Une étape à la fois

Évaluez $3 + 4 \times 2^2 - 10 \div 2$ .

Puissances d'abord : $2^2 = 4$ , donc l'expression devient $3 + 4 \times 4 - 10 \div 2$ ;
Multiplication et division, de gauche à droite : $4 \times 4 = 16$ et $10 \div 2 = 5$ , ce qui laisse $3 + 16 - 5$ ;
Addition et soustraction, de gauche à droite : $3 + 16 = 19$ , puis $19 - 5 = 14$ .

La réponse est 14. Ne sautez jamais la file : pas de multiplication avant que les puissances ne soient faites, pas d'addition avant que multiplication-et-division ne soit terminée.

Trois pièges courants

$2 \times 3^2$ : la puissance ne s'applique qu'au 3 qui lui est adjacent, donc $3^2 = 9$ et $2 \times 9 = 18$ . Pour élever tout le produit au carré, écrivez $(2 \times 3)^2 = 36$ ;
$12 \div 2 \times 3$ : même niveau, de gauche à droite — $12 \div 2 = 6$ , puis $6 \times 3 = 18$ . Faire $2\times3$ d'abord pour obtenir 2, c'est passer avant son tour ;
Multiplication invisible : $3(4 + 1)$ signifie vraiment $3 \times (4 + 1)$ , et la parenthèse passe toujours en premier — omettre le signe ne diminue pas son rang.

De gauche à droite ne s'applique que dans un niveau

La règle de gauche à droite s'applique entre multiplications et divisions, ou entre additions et soustractions — pas pour toute l'expression. Si vous rencontrez une puissance à côté d'un produit, faites la puissance ; si vous rencontrez une parenthèse, montez à l'intérieur d'abord.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 2+3×4 = ?
2. 2×3² = ?
3. 12÷2×3 = ?