Volume des cylindres, cônes et sphères

Une canette est un cylindre, un cornet de glace est un cône, une balle est une sphère — tous les trois sont ce qui se produit quand un cercle apprend à se tenir debout. Dans Volume, nous avons mesuré des boîtes en comptant des cubes ; cette leçon transpose cette idée de comptage dans le monde rond.

Cylindres : aire de la base × hauteur

Coupez un cylindre en disques ronds minces et chaque disque est une « base ». L'aire de la base est $\pi r^2$ , empilée sur $h$ couches de haut :

$V = \pi r^2 h$

Un cylindre de rayon 3 et de hauteur 5 : $V = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi \approx 141,37$ cm³. À 1000 cm³ par litre, cela représente environ 0,14 L — un petit verre de lait.

InteractifDes cubes aux cylindres

Comment utiliser

Longueur l4Largeur w3Hauteur h2

V = l × w × h = 4 × 3 × 2 = 24

Couche inférieure

Couches

L'ancienne routine de comptage de cubes fonctionne toujours ici : posez d'abord le sol, puis comptez les couches. Une boîte est « longueur × largeur × couches » ; un cylindre remplace simplement le sol rectangulaire par un sol rond — l'idée aire de la base × hauteur n'a jamais bougé.

Cônes : un tiers de cylindre

Un cône avec la même base et la même hauteur contient exactement un tiers :

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Le test de l'eau le prouve en quelques secondes : remplissez le cône, versez-le dans le cylindre correspondant, et la troisième versée le remplit à ras bord. Associez un cône avec ce cylindre de 45π et vous obtenez seulement $15\pi \approx 47,12$ cm³.

Sphères : une seule dimension compte

Une sphère n'a ni longueur, ni largeur, ni hauteur — sa formule n'a besoin que de $r$ :

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Une sphère de rayon 3 : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi \approx 113,10$ cm³.

Alignez les trois

La coïncidence 3 : 2 : 1

Un cylindre de rayon 3 et de hauteur 6 (juste assez haut pour contenir cette sphère) : $V = \pi \times 9 \times 6 = 54\pi$ . La sphère : $36\pi$ . Un cône avec la même base et la même hauteur : $18\pi$ . Le rapport est 3 : 2 : 1 — une sphère plus un cône remplissent exactement ce cylindre.

La quantité qu'un récipient peut contenir est le volume déguisé — il suffit de changer d'unités (1 cm³ = 1 mL). Une tasse de rayon 5 et de hauteur 10 contient environ $\pi \times 25 \times 10 = 250\pi \approx 785$ mL, un peu moins d'un litre — les tasses contiennent plus qu'elles n'en ont l'air.

Estimez avant de calculer

Gardez deux réflexes : un cône représente environ un tiers du cylindre correspondant, et une sphère nichée dans le cylindre de même rayon occupe environ deux tiers. Même si une formule vous échappe, l'ordre de grandeur ne vous échappera pas.

Vérifiez vos connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Un cylindre de rayon 3 et de hauteur 5 a quel volume ?
2. Un cône avec la même base et la même hauteur contient quelle fraction du cylindre ?
3. Une sphère de rayon 3 a quel volume ?