Geometría
Introducción a la trigonometría
Un ángulo agudo fija las razones de los tres lados: seno, coseno y tangente convierten ángulos en lados, y lados en ángulos.
Los triángulos rectángulos esconden un hecho notable: fija un ángulo agudo, y las razones entre los tres lados también quedan fijas. El triángulo puede crecer o reducirse, pero las razones no se mueven. Mientras el teorema de Pitágoras maneja las relaciones entre los tres lados, la trigonometría maneja la relación entre lados y ángulos: convierte un ángulo en un número con el que puedes calcular.
Primero nombra los tres lados
Elige un ángulo agudo. En relación con él, los tres lados reciben sus nombres:
- La hipotenusa: el lado que está frente al ángulo recto, siempre el más largo;
- El lado opuesto: el que está directamente frente al ángulo que elegiste;
- El lado adyacente: el que toca el ángulo que elegiste y no es la hipotenusa.
Los nombres siguen al ángulo
La hipotenusa nunca cambia, pero opuesto y adyacente intercambian papeles: mira el otro ángulo agudo, y el opuesto de ayer se convierte en el adyacente de hoy. Antes de decir "opuesto", di a qué ángulo te refieres.
Cómo usar
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²
Hipotenusa c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!
Arrastra los dos catetos y observa cómo cambian la hipotenusa y los cuadrados. Mantén un ojo en esto: los triángulos rectángulos semejantes pueden cambiar todas sus longitudes, pero las razones entre sus lados se mantienen; eso es lo que hace posible una tabla de valores trigonométricos.
Tres razones: sen, cos, tan
En relación con el ángulo elegido, define tres razones:
- seno, sen = opuesto ÷ hipotenusa;
- coseno, cos = adyacente ÷ hipotenusa;
- tangente, tan = opuesto ÷ adyacente.
La regla mnemotécnica SOH-CAH-TOA comprime las tres definiciones en nueve letras: S-O-H, C-A-H, T-O-A. Cada razón depende solo del tamaño del ángulo, así que los valores pueden precalcularse en una tabla (las calculadoras almacenan muchos más).
Valores para tres ángulos especiales
| Ángulo | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 0.500 | 0.866 | 0.577 |
| 45° | 0.707 | 0.707 | 1.000 |
| 60° | 0.866 | 0.500 | 1.732 |
Dos cosas se esconden en la tabla: en 45°, sen es igual a cos, porque los dos catetos de ese triángulo tienen la misma longitud; y el sen de 30° coincide con el cos de 60°, el mismo triángulo visto desde la otra esquina.
Del ángulo al lado, del lado al ángulo
Ángulo conocido, lado buscado. Hipotenusa 10, un ángulo agudo de 30°: ¿cuánto mide el lado opuesto al ángulo de 30°?
Opuesto = hipotenusa × sen 30° = .
En el mismo triángulo, el lado opuesto al ángulo de 60° mide .
Lado conocido, ángulo buscado. Mide un triángulo rectángulo cuyo lado opuesto mide 5 y cuya hipotenusa mide 10: la razón es . Búscalo en la tabla (o presiona la tecla en una calculadora), y el ángulo es 30°. Los lados salen de multiplicar; los ángulos salen de una búsqueda inversa: una calculadora cubre ambas cosas.
Configura la calculadora en grados
Antes de hacer trigonometría en una calculadora, comprueba que el modo diga DEG (grados), no RAD (radianes). El mismo "30" da respuestas completamente distintas en los dos modos; cuando los resultados parezcan incorrectos, revisa primero el modo.
Comprueba lo aprendido
Cuestionario rápido
1. ¿sen es la razón de cuáles dos lados?
2. Hipotenusa 10, un ángulo agudo de 30°. ¿Cuánto mide el lado opuesto a 30°?
3. ¿Cuál lado de un triángulo rectángulo es el más largo?