Desviación Estándar

Dos estudiantes tienen un promedio de 70 en cinco pruebas cortas. ¿Son igual de buenos? El estudiante A obtuvo 68, 69, 70, 71, 72; el estudiante B obtuvo 50, 60, 70, 80, 90. Medias idénticas, comportamientos muy distintos: A es constante, B sube y baja como una montaña rusa. Describir esa diferencia requiere más que media, mediana y moda: esas medidas informan el centro, no la dispersión. Conoce la segunda mirada: la desviación estándar.

Mismo promedio, distinto comportamiento

Resta la media a cada valor; cada diferencia es una desviación. Las desviaciones de A son −2, −1, 0, +1, +2, mientras que las de B son −20, −10, 0, +10, +20: mismo centro, diez veces más variación. Por desgracia, las desviaciones siempre suman cero: los positivos cancelan a los negativos, y promediarlas desperdicia todo el cálculo (para A: $-2 - 1 + 0 + 1 + 2 = 0$). Para que la desviación sobreviva, elévala al cuadrado primero: el signo desaparece, el tamaño permanece.

Eleva al cuadrado, luego promedia y después toma la raíz

La receta tiene tres pasos:

1. Eleva al cuadrado cada desviación;
2. Promédialas para obtener la varianza;
3. Toma la raíz cuadrada para volver a la desviación estándar.

Aplícalo a ambos estudiantes:

• A: cuadrados 4, 1, 0, 1, 4, que suman 10; varianza $= 10 \div 5 = 2$; desviación estándar $= \sqrt{2} \approx 1.4$;
• B: cuadrados 400, 100, 0, 100, 400, que suman 1000; varianza $= 1000 \div 5 = 200$; desviación estándar $= \sqrt{200} \approx 14.1$.

La raíz cuadrada final restaura las unidades: las calificaciones se miden en puntos, y al elevar al cuadrado también se elevaron al cuadrado las unidades, así que la raíz las devuelve a puntos. Intuición en una oración: la desviación estándar es la distancia típica respecto de la media. Las calificaciones de A se alejan alrededor de un punto; las de B se alejan por más de una decena.

Un cálculo completo

Cómo usar

+Borrar4865389

Cantidad

7

Media

6.14

Mediana

6

Moda

8

Agrega algunos valores, quita algunos y observa qué tan ancho se abre el diagrama de puntos: puntos agrupados significan una desviación estándar pequeña; puntos muy separados significan una grande. El componente calcula media, mediana y moda; juzgar "qué tan dispersos están" con tus propios ojos es exactamente lo que formaliza la desviación estándar.

Población, muestra y la campana

Dos notas rápidas. Primero, las calculadoras ofrecen tanto $\sigma$ como $s$: usa $\sigma$ (dividiendo entre $n$) cuando tus datos son la población completa, y $s$ (dividiendo entre $n-1$) cuando son solo una muestra tomada de ella; las muestras quedan artificialmente demasiado juntas, y el divisor ajustado compensa eso. Los detalles vendrán después; por ahora elige la tecla correcta. Segundo, datos como estaturas o calificaciones de exámenes suelen acumularse con forma de campana: la mayoría de los valores se amontona cerca de la media y se hace menos frecuente hacia los extremos. Cuanto mayor es la desviación estándar, más baja y ancha es la campana; cuanto menor, más alta y estrecha. Para datos con forma de campana, cerca del setenta por ciento cae dentro de una desviación estándar de la media, y casi todo dentro de dos. Así, "estatura promedio 170, desviación estándar 6" ya te permite imaginar a todo el grupo. Puedes ver formas de distribución con tus propios ojos en Histogramas; el Rango mide la dispersión usando solo los dos extremos; y Uso incorrecto de los promedios muestra cómo un valor extremo arrastra una media fuera de lugar.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. Una desviación estándar pequeña significa que los datos...

   se agrupan cerca de la mediatienen una media grandetienen pocos valores

2. 2. ¿Cuál es la desviación estándar de [2, 6]?

   248

3. 3. Un conjunto de datos tiene varianza 200. Su desviación estándar es aproximadamente...

   14.120020