Valor esperado

Un puesto justo lanza un dado: si sale 6, ganas 6 yuanes; cualquier otra cosa no gana nada. Una jugada «podría» darte 6 yuanes, pero ¿qué pasa si juegas toda la tarde? ¿Cuánto vale cada turno en promedio? Esta pregunta tiene una respuesta exacta, llamada valor esperado.

Probabilidades como pesos

Para un dado justo, el valor esperado del lanzamiento es $(1+2+3+4+5+6) \div 6 = 3.5$. La receta estándar multiplica cada resultado por su probabilidad y lo suma todo:

$1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Los resultados probables tienen más peso: la misma idea que los promedios ponderados de media, mediana y moda, con probabilidades usando los pesos. Observa: ninguna cara del dado muestra 3.5. No es el resultado de un solo lanzamiento, sino el valor al que se acerca el promedio a largo plazo.

Cómo usar

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Proporción de caras

Lanzar una vezLanzar 100×Lanzar 1000×

Cuanto más lanzas, más se acerca la proporción de caras al 50%: esa es la ley de los grandes números.

Úsalo en la apuesta más simple de todas: cara gana 1 yuan, cruz pierde 1 yuan. La esperanza es $1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0$: un empate justo, un «juego justo». Lanza 10 veces y la proporción de caras puede oscilar mucho; lanza 1000 veces y se acerca a 50%. La esperanza no es una promesa para una ronda: es el promedio a largo plazo que entrega la ley de los grandes números.

Calcula la esperanza de una lotería

La esperanza no es un solo resultado

Compra un boleto y nunca tendrás «2 yuanes»: obtienes 100, o 25, o 0. La esperanza es un nivel de promedio ponderado, no una garantía para una extracción; un solo resultado puede quedar muy lejos de ella. Pero a medida que aumenta el número de intentos, el promedio se aferra cada vez más a la esperanza: en el experimento de la moneda, después de 1000 lanzamientos la proporción de caras dejó de alejarse de 50%. Una apuesta depende de la suerte; diez mil apuestas dependen de la esperanza.

Por qué la casa siempre gana

En un casino, la esperanza de cada juego es negativa para el jugador. Toma la ruleta: la rueda europea tiene 37 casillas: 18 rojas, 18 negras, 1 cero. Apuesta 1 yuan al rojo: probabilidad de ganar $\frac{18}{37}$, probabilidad de perder $\frac{19}{37}$, así que la esperanza es

$1 \times \frac{18}{37} + (-1) \times \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$

¿Perder menos de 3 centavos por yuan apostado parece inofensivo? Millones de jugadores hacen miles de millones de apuestas, y unos 2.7 centavos salen de cada yuan: la casa duerme tranquila. El −1 yuan de la rifa y el −0.027 yuan de la rueda comparten una moraleja: cuando la esperanza es negativa, cuanto más juegas, más puntualmente pierdes. Para seguir explorando la probabilidad, visita probabilidad; los eventos combinados esperan en probabilidad compuesta.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. Un lanzamiento de un dado justo: ¿cuál es el valor esperado del número mostrado?

   3.534

2. 2. 10 pajillas esconden un premio de 9 yuanes, las demás están en blanco. Sacas una gratis: ¿cuál es el premio esperado?

   0.9 yuanes9 yuanes4.5 yuanes

3. 3. Un juego tiene una esperanza de −0.5 yuan por jugada. Después de unas 1000 jugadas habrás...

   perdido alrededor de 500 yuanesquedado en equilibrioganado alrededor de 500 yuanes