Probabilidad compuesta y diagramas de árbol

En la introducción a la probabilidad aprendiste posibilidades de un solo paso: una moneda cae en cara con probabilidad $\frac{1}{2}$. Pero la vida a menudo avanza en dos pasos seguidos: lanzar dos monedas, sacar dos cartas, lanzar un dado y luego lanzar una moneda. ¿Cómo funcionan las probabilidades de dos pasos? La respuesta empieza dibujando un árbol.

El diagrama de árbol: dibujar las bifurcaciones

Lanza dos monedas. Cada moneda es una bifurcación en el camino. Dibújalo:

• Primera moneda cara
  • Segunda moneda cara → cara-cara
  • Segunda moneda cruz → cara-cruz
• Primera moneda cruz
  • Segunda moneda cara → cruz-cara
  • Segunda moneda cruz → cruz-cruz

Hay $2 \times 2 = 4$ caminos completos desde la raíz hasta la punta. Cada camino pasa por dos elecciones de $\frac{1}{2}$, así que cada camino tiene probabilidad

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Cuatro caminos igualmente probables, un cuarto cada uno: una vez dibujado el árbol, las respuestas ya están en el papel.

Multiplica a lo largo de las ramas, suma entre bifurcaciones

Detrás del árbol hay dos lemas:

• «Y» significa multiplicar: cuando el resultado deseado debe pasar por varias puertas seguidas, multiplica las probabilidades de esas puertas. ¿Dos caras? $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$;
• «O» significa sumar: cuando cuentan varios caminos que no se superponen, suma sus probabilidades. «Al menos una cara» cubre cara-cara, cara-cruz y cruz-cara: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Con reemplazo o sin reemplazo

Una bolsa tiene 3 canicas, 2 rojas y 1 azul; saca dos veces. Si cada canica vuelve a entrar, la segunda puerta conserva su probabilidad: dos rojas es $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$. Sin reemplazo, después de sacar una roja la bolsa tiene 1 roja y 1 azul, así que la segunda puerta cambia: dos rojas es $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$. El árbol todavía funciona: la segunda capa de ramas solo lleva nuevas probabilidades. Antes de dibujar cualquier árbol, pregunta siempre: ¿con reemplazo o sin reemplazo?

Cómo usar

🪙

—

Proporción de caras

Lanzar una vezLanzar 100×Lanzar 1000×

Cuanto más lanzas, más se acerca la proporción de caras al 50%: esa es la ley de los grandes números.

Multiplicar a lo largo de las ramas solo es válido cuando los dos pasos no interfieren. Lanza 100 y luego 1000 veces y observa: la proporción de caras se estabiliza muy cerca de $\frac{1}{2}$; cada lanzamiento empieza desde cero, sin tocar nada más. Eso es lo que significa «independiente».

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara y una cruz?

   1/21/41/3

2. 2. Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de 'un seis y cara'?

   1/121/81/36

3. 3. Una bolsa tiene 2 canicas rojas y 1 azul. Sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas extracciones sean rojas?

   1/34/92/3