Vectores

"Camina 3 kilómetros hacia adelante" deja algo fuera: ¿hacia dónde? 3 km al este y 3 km al norte terminan en lugares muy distintos. Una cantidad que lleva tanto tamaño como dirección, como el desplazamiento, es un vector; una que solo tiene tamaño es un escalar, como 3 kg o 20 dólares. La rapidez informa solo el tamaño: un escalar; agrega una dirección y se convierte en velocidad, un vector.

Componentes: divide la flecha en dos pasos

En el plano coordenado, un vector se puede escribir como un par $(3, 4)$: primero 3 al este, luego 4 al norte. Este par se llama las componentes: un recorrido inclinado dividido en "una caminata horizontal + una caminata vertical".

Cómo usar

x3y-2

(3, -2) → Cuadrante IV

Camina x pasos horizontalmente, luego y pasos verticalmente: el par ordenado (x, y) ubica exactamente un punto.

Arrastra los deslizadores y sigue el camino punteado, primero horizontal y luego vertical: ir del origen a $(3, -2)$ significa "3 hacia un lado, −2 hacia arriba (es decir, 2 hacia abajo)". Un vector que comienza en el origen es un vector de posición: las coordenadas mismas son sus componentes.

Sumar: punta con cola

3 al este y 4 al norte, luego 1 más al este y 2 más al norte: ¿dónde estás ahora? La suma de vectores simplemente suma las componentes por separado:

$(3, 4) + (1, 2) = (4, 6)$

Geométricamente es punta con cola: la cola de la segunda flecha se une con la punta de la primera, y la flecha desde el inicio absoluto hasta el final absoluto es la suma. El orden no importa: este y luego norte llega exactamente al mismo lugar que norte y luego este.

Escalamiento y magnitud

Para estirar un vector al doble de su longitud, multiplica ambas componentes por 2:

$2 \times (-1, 5) = (-2, 10)$

Un factor negativo lo gira: $-1 \times (3, 4) = (-3, -4)$: misma longitud, dirección opuesta.

¿Qué tan larga es la flecha en sí? Trata las componentes como los dos catetos de un triángulo rectángulo y recurre al teorema de Pitágoras:

$|(3, 4)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

3 km al este y luego 4 km al norte son exactamente 5 km en línea recta: el viejo trío 3-4-5 otra vez. Uno más: $|(-6, 8)| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

El punto de vista de la traslación

El temperamento más distintivo de un vector: le importa cuánto viajaste, no dónde empezaste. Dibujado en el origen o en cualquier otro lugar, $(3, 4)$ es la misma flecha. Por eso la traslación de una figura se expresa en una oración: suma el mismo vector a cada punto. $(2, 3)$ desliza toda la figura 2 a la derecha y 3 hacia arriba, sin cambiar su forma ni su tamaño. Detrás de cada figura que se desliza en Transformaciones está esta idea.

Compruébalo

Cuestionario rápido

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0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. ¿Cuál es la magnitud del vector (3, 4)?

   5712

2. 2. ¿Cuánto es (2, -1) + (1, 3)?

   (3, 2)(3, 4)(2, 2)

3. 3. Reduce el vector (2, 5) a la mitad de su longitud. ¿Qué obtienes?

   (1, 2.5)(4, 10)(2, 2.5)