Álgebra
Coordenadas cartesianas
Dos rectas numéricas se cruzan, y cada punto del plano recibe una dirección propia.
Un boleto de cine dice "Fila 5, asiento 3": no necesitas preguntarle a nadie, caminas directo a tu asiento: encuentra la fila 5, luego cuenta hasta el asiento 3. Hace más de trescientos años, el matemático Descartes llevó este truco de ubicar asientos a las matemáticas: dibuja dos rectas numéricas perpendiculares, y cada punto del plano posee una dirección única.
Dos rectas numéricas, un mapa
Cada una de las dos rectas tiene un trabajo:
- La horizontal es el eje x, positivo hacia la derecha;
- La vertical es el eje y, positivo hacia arriba;
- Donde se cruzan está el origen , con la dirección .
La dirección de un punto se escribe como un par ordenado : primero horizontal, segundo vertical. y son dos puntos diferentes: el orden es la regla, y eso es exactamente lo que significa "ordenado".
Cómo caminar hasta (2, 3)
Leer coordenadas es como caminar, con el canto primero horizontal, luego vertical: empieza en el origen, avanza 2 a la derecha por el eje x, luego 3 hacia arriba, y llegas a . Para leer las coordenadas de un punto, mira con qué número se alinea en el eje x y con cuál en el eje y, luego repórtalos en el mismo orden.
Qué pasa si cambias el orden
Escribir como significa caminar 3 a la derecha y 2 hacia arriba: llegas a otro lugar por completo. La forma más común de perder puntos en coordenadas es reportar el par al revés.
El código de signos de los cuatro cuadrantes
Los dos ejes dividen el plano en cuatro partes, numeradas en sentido contrario a las agujas del reloj desde la parte superior derecha: cuadrantes I, II, III, IV. No necesitas memorizar el mapa: solo observa los signos:
- Cuadrante I : x e y son ambos positivos;
- Cuadrante II : x negativo, y positivo: arriba a la izquierda;
- Cuadrante III : ambos negativos: abajo a la izquierda;
- Cuadrante IV : x positivo, y negativo: abajo a la derecha.
Los dos ejes en sí no pertenecen a ningún cuadrante: un punto sobre un eje tiene al menos una coordenada igual a , como .
Tablero de coordenadas
Cómo usar
(3, -2) → Cuadrante IV
Camina x pasos horizontalmente, luego y pasos verticalmente: el par ordenado (x, y) ubica exactamente un punto.
Arrastra los controles deslizantes de x e y y observa cómo el punto recorre el plano mientras el panel de signos anuncia en qué cuadrante vive. Ponte tres misiones: mueve el punto al cuadrante II; encuentra un punto que "viva sobre el eje x"; luego haz que x e y compartan signo, y mira en cuáles dos regiones puede caer el punto.
Para qué sirven las direcciones
- Mapas y navegación: la longitud y la latitud son un par de coordenadas: "30° N, 120° E" fija un lugar en la Tierra misma;
- Mundos de juegos: muchos juegos escriben la posición de un personaje como , y los mundos 3D llevan una extra;
- Cines y salones de clase: fila y asiento son coordenadas en su forma más simple.
Más adelante, en Ecuación de una recta, verás que una recta es simplemente la fila ordenada de todos los puntos que satisfacen , y cada allí es una coordenada de hoy. Las entradas y salidas de Variables y la máquina de funciones encajan en el mismo par de paréntesis.
Compruébalo
Cuestionario rápido
1. ¿En qué cuadrante vive el punto (-3, 4)?
2. Desde el origen caminas 4 pasos a la derecha y 2 pasos hacia abajo. ¿Dónde llegas?
3. Un punto está exactamente sobre el eje x. ¿Qué tiene de especial en sus coordenadas?