Introducción a las matrices

Los datos alineados en filas y columnas forman una matriz: una tabla ordenada de números. Los píxeles de tu pantalla, una tabla de posiciones, las hojas de calificaciones de tres clases: todos son parientes de las matrices. No subestimes la tabla: puede hacer aritmética por sí sola, y puede mover una figura completa de una sola vez.

Suma de matrices y multiplicación por escalar

Sumar dos matrices de la misma forma sigue una regla demasiado simple para memorizarla: suma las entradas en las posiciones correspondientes.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

La multiplicación por escalar también va celda por celda: $2 \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$. Las matrices de formas distintas no se pueden sumar: las posiciones ni siquiera coinciden.

Fila por columna: el evento principal

Los coeficientes de ecuaciones simultáneas se organizan en una matriz como viejos compañeros; la multiplicación misma, sin embargo, se niega a funcionar celda por celda. Su regla es fila por columna: la entrada en la fila i, columna j del resultado viene de la fila i de la matriz izquierda al encontrarse con la columna j de la matriz derecha: multiplica por parejas y luego suma. Observa:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot1 + 2\cdot0 \\ 0\cdot1 + 1\cdot2 & 0\cdot1 + 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

El 5 de arriba a la izquierda viene de la fila $(1, 2)$ al encontrarse con la columna $(1, 2)$: $1\times1 + 2\times2 = 5$. Las otras tres celdas siguen la misma receta.

El orden importa

Entre números comunes, $3 \times 4 = 4 \times 3$; las matrices pierden esa libertad. Intercambia el orden de las dos matrices anteriores:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Antes la respuesta era $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$; ahora sale $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$: cambia el orden y cambia toda la respuesta. En el mundo de las matrices, $AB = BA$ generalmente falla.

Mover figuras con matrices

La extraña regla de fila por columna revela su verdadero significado en geometría. En el plano de coordenadas, escribe el punto $(x, y)$ como una columna y deja que una matriz lo multiplique desde la izquierda:

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$

El nuevo punto es $(-y, x)$: exactamente una rotación de 90° en sentido antihorario alrededor del origen. Prueba dos puntos: $(1, 0)$, que apunta hacia el este, se convierte en $(0, 1)$, hacia el norte; $(2, 3)$ se convierte en $(-3, 2)$.

Una matriz más la instrucción "multiplícate por mí" es un comando geométrico. Más allá de la rotación vienen reflexiones y estiramientos: todo el repertorio de transformaciones está al alcance de una matriz.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. ¿Cuánto es [1,2,3,4] más [5,6,7,8] (dos filas, dos columnas, listadas por filas)?

   [6,8,10,12][19,22,43,50][6,8,10,10]

2. 2. ¿La multiplicación de matrices cumple AB = BA?

   siempre, igual que los números ordinariosgeneralmente no: el orden es crucialsolo cuando las matrices son grandes

3. 3. Usando la matriz de rotación, gira el punto (2, 1) 90° en sentido antihorario. ¿Qué obtienes?

   (-1, 2)(1, -2)(1, 2)