Productos binomiales especiales

Algunas personas pueden decir $35^2 = 1225$ al instante. Su secreto no es una aritmética mental relámpago, sino un puñado de productos especiales memorizados: separa 35 en $30 + 5$ y una fórmula termina el trabajo en tres pasos. Hoy presentamos las dos más útiles.

La trampa clásica

Prueba un experimento rápido: ¿son iguales $(3+4)^2$ y $3^2 + 4^2$ ? El primero es $7^2 = 49$ , el segundo solo $9 + 16 = 25$ — una diferencia de 24. Distribuir un cuadrado sobre cada término dentro de un paréntesis es la idea equivocada más persistente que queda de expandir paréntesis.

Expande con honestidad, todo por todo:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ese término del medio $2ab$ es exactamente el origen de la diferencia entre 25 y 49 ( $2 \times 3 \times 4 = 24$ ). Cambia $b$ por $-b$ y obtienes la segunda identidad:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Por ejemplo, $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ — el término del medio lleva signo menos, y aun así no se le permite desaparecer.

Mira 2ab en una imagen

No hace falta memorizar a ciegas. Dibuja un cuadrado grande de lado $(a+b)$ y córtalo una vez horizontalmente y una vez verticalmente en cuatro piezas: dos cuadrados $a^2$ y $b^2$ , más dos rectángulos idénticos $ab$ . El área total $a^2 + ab + ab + b^2$ es exactamente el lado derecho de la fórmula.

Prueba con números: $a = 3$ , $b = 4$ da piezas de 9, 12, 12 y 16, que suman $49 = 7^2$ . Los dos 12 son $2ab$ . En la cuadrícula de abajo, ajusta tanto el ancho como la altura a 7 y cuenta 49 cuadrados unitarios; luego imagina los dos cortes. Este rompecabezas funciona para cualquier $a$ y $b$ .

InteractivoCuadrícula de área

Cómo usar

Ancho w5Alto h4

Área = largo × ancho=5 × 4 = 20cuadrados unitarios

Diferencia de cuadrados, cortando y pegando

La tercera identidad es todavía más elegante: $(a+b)(a-b)$ . Al expandir se obtiene $a^2 + ab - ab - b^2$ , y los términos del medio se cancelan, dejando

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Visto como área: corta una esquina de lado $b$ de un cuadrado $a \times a$ y queda una pieza en forma de L con área $a^2 - b^2$ ; desliza la tira vertical junto a la horizontal y se convierte en un rectángulo exacto de $(a+b) \times (a-b)$ — corta una pieza, acomoda otra, el área no cambia.

También es un superpoder de cálculo mental: $42 \times 38 = (40+2)(40-2) = 1600 - 4 = 1596$ .

Usa las fórmulas y luego verifícalas

Expandir (2x+3)²

Trata $2x$ como $a$ y 3 como $b$ : $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$ . Verifica con $x = 1$ : el lado izquierdo es $(2+3)^2 = 25$ y el lado derecho es $4 + 12 + 9 = 25$ — coinciden. El arte de verificar vive en sustitución, el seguro más firme que puede comprar quien usa fórmulas.

¿A dónde se fue el término del medio?

Dos errores muy frecuentes: $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ y $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$ — ambas respuestas correctas llevan un término del medio $\pm 2ab$ . Antes de expandir, haz una pregunta: ¿dónde está el término del medio?

Las fórmulas también funcionan al revés: encuentras $x^2 + 6x + 9$ , reconoces $(x+3)^2$ — y eso ya es el trabajo de factorizar.

Ponte a prueba

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. ¿Cuál es la expansión de (x + 4)²?
2. ¿Cuál es la expansión de (x + 7)(x − 7)?
3. Usa la diferencia de cuadrados para calcular mentalmente 43 × 37. ¿Cuál es el resultado?