Factorización

Cualquiera puede calcular $3 \times 4 = 12$ ; pero ver 12 y saber que se separa en $3 \times 4$ : ese es el ojo de quien factoriza. El álgebra tiene las mismas dos direcciones: convertir $3(x + 2)$ en $3x + 6$ es ir corriente abajo; volver a empacar $3x + 6$ en paréntesis como $3(x + 2)$ es el trabajo de hoy, factorizar. En Variables y la máquina de funciones ya jugaste a "adivinar la regla a partir de la salida"; factorizar es exactamente eso: descubrir la regla hacia atrás a partir del resultado.

Movimiento uno: saca el factor común

Mira $6x + 9$ : los coeficientes 6 y 9 comparten el factor 3, así que sácalo fuera de los paréntesis:

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

¿Qué queda dentro? Cada término dividido entre el factor común: $6x \div 3 = 2x$ y $9 \div 3 = 3$ . Comprueba desarrollando: $3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ , una coincidencia perfecta. El factor común también puede llevar una letra: $5x^2 + 10x = 5x(x + 2)$ .

Movimiento dos: separa $x^2 + bx + c$

Objetivo: $x^2 + 5x + 6$ . Para escribirlo como $(x + \square)(x + \square)$ , los dos números en los cuadros deben tener un producto de 6 y una suma de 5. Busca opciones: $2 \times 3 = 6$ y $2 + 3 = 5$ ; es este par:

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Verifica siempre desarrollando: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ , paso tras paso.

Multiplica para una pista, suma para la otra

Al separar $x^2 + bx + c$ , la constante $c$ dice en qué deben multiplicarse los dos números, y $b$ dice en qué deben sumarse. Dos pistas juntas reducen rápido las posibilidades. Cuidado con los negativos: si $c$ es negativo, un número debe ser positivo y el otro negativo.

Movimiento tres: diferencia de cuadrados

Un "cuadrado menos cuadrado" como $x^2 - 9$ tiene una separación fija:

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Verifica desarrollando: $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3x + 3x - 9$ ; los dos términos del medio se cancelan y queda $x^2 - 9$ . Cualquier expresión de la forma $a^2 - b^2$ se separa como $(a + b)(a - b)$ . Detectar los cuadrados es el primer paso: $x^2$ es $x \cdot x$ y $9$ es $3^2$ ; la tarea de Exponentes rinde frutos aquí.

Observa la dirección: la diferencia de cuadrados $x^2 - 9$ se separa; $x^2 + 9$ es una suma de cuadrados; por ahora, recuerda que no se separa.

Alcance de factores

InteractivoAlcance de factores

Cómo usar

Una regla secreta se esconde dentro de la máquina. ¡Dale números y adivina la regla!

? ? ?

Salida

—

La máquina procesa la regla "por 3, luego más 2" para producir la salida $3x + 2$ : eso es desarrollar, corriente abajo. Factorizar es ir corriente arriba: mirar $3x + 2$ y preguntar "¿qué regla te construyó?" Recorre varias reglas en la máquina y siente cómo trabaja el par: desarrollar corriente abajo, factorizar corriente arriba.

Para qué sirve

Su entrada en escena es dramática: resolver ecuaciones. Una vez que $(x - 5)(x + 2) = 0$ está factorizado, las respuestas salen solas: $x = 5$ o $x = -2$ . En ecuaciones cuadráticas, factorizar es la primera llave de la puerta.

Comprueba lo que sabes

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. ¿Cuál es la factorización de 6x + 9?
2. ¿Cuál es la factorización de x² + 7x + 10?
3. ¿Cómo se separa x² - 16?