Graficar cuadráticas

Después de que una pelota de básquetbol sale de tus manos, su trayectoria no es una línea recta ni un arco circular, sino una curva elegante que sube, alcanza un punto máximo y baja: una parábola. Los chorros de las fuentes y los arcos de los puentes llevan su silueta. Detrás de la curva hay una función muy sencilla:

$y = ax^2 + bx + c$

Grafica primero la parábola más simple

Empieza con $y = x^2$ y haz una tabla de puntos (dibujados en coordenadas cartesianas):

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^2$	4	1	0	1	4

Conecta los puntos y aparece una curva con forma de tazón. Observa su simetría: $x = -2$ y $x = 2$ producen el mismo $y$ ; elevar al cuadrado se come el signo menos. El punto más bajo $(0, 0)$ es el vértice, y la recta vertical que divide la curva en mitades reflejadas es el eje de simetría.

La dirección de apertura se lee en a

$a > 0$ : la parábola abre hacia arriba, como un tazón, y el vértice es el mínimo;
$a < 0$ : abre hacia abajo, como un paraguas, y el vértice es el máximo.

$|a|$ controla la forma: $y = 2x^2$ ya llega a 2 cuando $x = 1$ , más inclinada y estrecha que $y = x^2$ , mientras que $y = 0.5x^2$ sube lentamente y se ve más ancha. Si $a = 0$ , el término cuadrático desaparece y solo queda $y = bx + c$ : la parábola se aplana hasta convertirse en una recta. El coeficiente $a$ es el alma de la parábola.

Eje de simetría y vértice

Para la forma general, el eje de simetría es la recta vertical

$x = -\frac{b}{2a}$

y el vértice está sobre ella. Por ejemplo, $y = x^2 - 4x + 3$ tiene eje $x = -\frac{-4}{2} = 2$ y altura del vértice $4 - 8 + 3 = -1$ , es decir, $(2, -1)$ .

¿De dónde viene la fórmula? De la simetría. Sustituye $x = 1$ y obtienes 0; sustituye $x = 3$ y vuelves a obtener 0: dos puntos con la misma altura deben estar simétricamente alrededor del eje, y su punto medio $\frac{1+3}{2} = 2$ es exactamente ese eje.

No pierdas el signo menos

El menos inicial en $x = -\frac{b}{2a}$ es lo más fácil de olvidar. En $y = x^2 - 4x + 3$ tenemos $b = -4$ , así que $-\frac{-4}{2} = 2$ : un negativo por un negativo se vuelve positivo, y el eje cae del lado positivo.

El discriminante cuenta los interceptos

El número de cruces con el eje x queda determinado por el discriminante $b^2 - 4ac$ :

$b^2 - 4ac > 0$ : dos interceptos;
$b^2 - 4ac = 0$ : exactamente uno: el vértice descansa sobre el eje x;
$b^2 - 4ac < 0$ : ningún intercepto.

Para $y = x^2 - 1$ , el discriminante es $0 + 4 = 4 > 0$ , con interceptos en $x = \pm 1$ ; para $y = x^2$ es 0, un intercepto; para $y = x^2 + 1$ es $-4 < 0$ : incluso el mínimo queda 1 arriba del suelo, sin llegar nunca al eje x. El valor de x de un intercepto es una solución de $y = 0$ , que es exactamente de lo que tratan las ecuaciones cuadráticas.

Traza una parábola completa

Dibuja $y = x^2 - 2x - 3$ : el eje es $x = \frac{2}{2} = 1$ , el vértice $(1, -4)$ , y el discriminante $4 + 12 = 16 > 0$ promete dos interceptos. Grafica puntos: $x = -1$ da 0, $x = 0$ da $-3$ , $x = 3$ da 0. La curva baja desde $(-1, 0)$ hasta $(1, -4)$ y vuelve a subir hasta $(3, 0)$ : vértice, eje e interceptos coinciden.

Cuándo está más alta la pelota

La altura de una pelota lanzada es aproximadamente $h = -5t^2 + 20t$ (metros). Aquí $a = -5 < 0$ , así que abre hacia abajo. El punto máximo está sobre el eje de simetría en $t = \frac{20}{10} = 2$ segundos, donde $h = -20 + 40 = 20$ metros. El discriminante $400 > 0$ da dos ceros: lanzamiento en $t = 0$ , caída en $t = 4$ . Lee el vértice y se responden a la vez el "cuándo" y el "qué tan alto".

Compruébalo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. ¿Hacia dónde abre y = −3x²?
2. ¿Cuál es el eje de simetría de y = x² − 6x + 5?
3. ¿Cuántos interceptos con x tiene y = x² + 2x + 5?