Desarrollo de Paréntesis

$(x+2)(x+3)$ parece intimidante, pero abrirlo requiere solo una ley. Factorizar vuelve a empacar una expresión en paréntesis; hoy caminamos en la otra dirección y desarrollamos, poniendo cada término a la luz.

La ley distributiva: un anfitrión, todos los invitados

Quien esté fuera de un paréntesis debe darle la mano a cada término que está dentro. $3(x+4)$ significa 3 por $x$ y 3 por 4:

$a(b+c) = ab + ac$

$3(x+4) = 3x + 12$

Como diagrama de flechas: desde el 3, una flecha apunta a $x$, otra a 4, y cada destino conserva su parte. Si falta una flecha, la respuesta queda incompleta.

Dos paréntesis: dibuja una cuadrícula

Cuando se multiplican dos paréntesis, la regla es todo por todo. Organiza $(x+2)(x+3)$ como una cuadrícula:

$\times$	$x$	$+3$
$x$	$x^2$	$3x$
$+2$	$2x$	$6$

Suma las cuatro celdas:

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Algunas personas llaman a esto FOIL: First, Outer, Inner, Last. Es el mismo trabajo que la cuadrícula, con otras palabras.

Los signos son la zona de desastre

Los números rara vez muerden; el signo menos sí. Dos reglas de acción:

• Un signo menos delante de un paréntesis es un $-1$ oculto que multiplica, así que todos los términos cambian de signo: $-(x-4) = -x + 4$;
• Cuando un paréntesis lleva su propio menos, el signo viaja con el número: $(x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$.

¿La expansión está bien? Sustituye un número

Es fácil equivocarse al desarrollar, y es igual de fácil comprobarlo. Elige cualquier $x$; ambos lados deben coincidir. Prueba con $x = 1$:

$(1+2)(1+3) = 3 \times 4 = 12 \qquad 1^2 + 5 \times 1 + 6 = 12$

Ambos lados dan 12, así que la expansión se sostiene. Para tener más confianza, prueba también con $x = 2$ (ambos lados dan 20). Esta es la misma habilidad que se practica en sustitución.

Cómo usar

Una regla secreta se esconde dentro de la máquina. ¡Dale números y adivina la regla!

Entrada

? ? ?

Salida

—

Revelar reglaNueva regla

A la máquina no le importa cómo se ve una expresión: solo qué sale para el $x$ que le das. $(x+2)(x+3)$ y $x^2+5x+6$ tienen caras distintas, pero la misma entrada produce la misma salida. En el fondo, desarrollar es reescribir la misma máquina.

Comprueba lo que sabes

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. ¿Cuál es el desarrollo de 3(x + 5)?

   3x + 53x + 15x + 15

2. 2. ¿Cuál es el desarrollo de −(x − 4)?

   −x + 4−x − 4x − 4

3. 3. ¿Cuál es el desarrollo de (x + 2)(x + 3)?

   x² + 5x + 6x² + 6x + 52x + 5