Introducción a los límites

Hace dos mil años, Zenón provocó a los viajeros con esto: para llegar a una puerta, primero camina la mitad del camino, luego la mitad de lo que queda, luego la mitad otra vez: una lista interminable de tareas. ¿Puedes llegar alguna vez? Convierte su acertijo en aritmética y conocerás el límite.

Pasos interminables, una suma finita

Suma las distancias de cada paso:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$

Después de $n$ pasos, el total es $1 - \frac{1}{2^n}$ : la distancia hasta 1 es exactamente la pequeña parte que aún no se recorrió. Las piezas se encogen, la suma se arrastra hacia 1 y nunca pasa de 1. Ese valor objetivo, 1 — al que se acerca para siempre, sin rebasarlo — es el límite de la suma. Los pasos nunca se detienen, pero el destino está perfectamente claro.

El límite: hacia dónde se dirige una función

Los límites también pertenecen a las funciones. Mira esta (en $x = 2$ el denominador es 0, así que la función ni siquiera está definida allí):

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Una tabla: acercarse a 2 desde ambos lados

En $x = 1.9$ , $f(x) = 3.9$ ; en $x = 1.99$ , $f(x) = 3.99$ ; en $x = 1.999$ , $f(x) = 3.999$ ;
En $x = 2.1$ , $f(x) = 4.1$ ; en $x = 2.01$ , $f(x) = 4.01$ ; en $x = 2.001$ , $f(x) = 4.001$ .

Ambos lados corren hacia 4, así que $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ . Por qué: para $x \neq 2$ , $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ , y cuando $x$ se acerca a 2, $x + 2$ se acerca a 4.

La frase clave: un límite describe hacia dónde se dirige una función; no requiere que la función llegue. $f(2)$ ni siquiera existe, pero el límite sí. Sustituir un valor y tomar un límite son dos operaciones diferentes.

Límites laterales, en una línea

Acercarse desde la izquierda se escribe $x \to 2^-$ , desde la derecha $x \to 2^+$ ; el límite completo existe solo cuando los dos límites laterales coinciden. Arriba, ambos lados dan 4, así que el límite es 4.

El laboratorio de acercamiento

El límite es el latido del cálculo. En Introducción a las derivadas, la pendiente tangente se define exactamente de esta manera: la pendiente secante se acerca a un valor cuando $h$ se encoge, y ese valor límite es la pendiente tangente. Arrastra el deslizador para encoger $h$ y observa cómo la secante se pega a la tangente: estás viendo ocurrir un límite:

InteractivoLaboratorio de acercamiento

Cómo usar

Punto x₀0.5Paso h1.5

Pendiente secante

2.500

Pendiente tangente

1.000

Arrastra h hacia 0 y la secante se acerca a la tangente: eso es la derivada.

Por qué 0.999… es igual a 1

Sea $x = 0.999\cdots$ . Entonces $10x = 9.999\cdots$ , y al restar se cancela la cola interminable: $10x - x = 9$ , así que $x = 1$ . En el lenguaje de los límites: la brecha entre $0.999\cdots$ y 1 es $0.000\cdots$ , un decimal donde cada dígito es 0. Una brecha de cero significa que son el mismo número. Así que $0.999\cdots = 1$ no es "lo suficientemente cerca"; es una ecuación exacta.

Una pequeña rutina para límites

Primero intenta sustituir. Si eso falla (por ejemplo, obtienes $\frac{0}{0}$ ), simplifica primero: factoriza, cancela, combina fracciones, para quitar el punto problemático; luego mira a qué se acerca la expresión simplificada.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. ¿Cuánto es 1/2 + 1/4 + 1/8 + … cuando se suma para siempre?
2. ¿Cuánto es lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2)?
3. ¿Cómo se compara 0.999… (nueves para siempre) con 1?