Extremos e Otimização

Uma vez que você sabe derivar, a pergunta mais natural aparece: onde essa função é mais alta, e onde é mais baixa? Uma cerca cercando a maior área, um preço gerando o maior lucro — ambos são caçadas por um "pico". O Cálculo transforma a caça ao pico em um procedimento: derive, iguale a zero, leia os sinais. Três passos, e picos e vales se revelam.

Pontos críticos: onde a derivada é zero

No instante em que você está em um cume, você não está subindo nem descendo — a inclinação é zero. Picos e vales de uma função são o mesmo: a tangente é horizontal e a derivada se anula. Soluções de $f'(x) = 0$ são chamadas de pontos críticos. Observe que isso é apenas uma lista curta: todo pico e vale aparece nela, mas nem tudo nela é um pico ou vale (alguns são apenas um trecho plano). Uma função pode ter vários pontos críticos — como uma estrada sinuosa com vários cumes e depressões — e o procedimento é executado uma vez para cada candidato. Então, o passo um é sempre resolver $f'(x) = 0$ e convocar os candidatos.

Lendo picos e vales a partir dos sinais

O sinal da derivada em cada lado de um ponto crítico anuncia sua identidade:

Positivo depois negativo: sobe, depois desce — um máximo local (um cume);
Negativo depois positivo: desce, depois sobe — um mínimo local (um fundo de vale);
Mesmo sinal em ambos os lados: uma travessia em nível, nem pico nem vale.

InterativoObservatório de Inversão de Inclinação

Como usar

Ponto x₀0.5Passo h1.5

Inclinação da secante

2.500

Inclinação da tangente

1.000

Arraste h em direção a 0 e a secante abraça a tangente — isso é a derivada.

Arraste $x_0$ em direção a 0 e observe a inclinação desta parábola inverter de negativa para positiva, passando exatamente por zero no fundo do vale — negativo depois positivo, um mínimo local de livro-texto. Os picos e vales de toda função obedecem à mesma regra de inversões de sinal.

Dois problemas resolvidos

Dois problemas — um geométrico, um comercial — executam exatamente o mesmo procedimento.

Maior área com 20 metros de cerca

Cerque um retângulo com 20 metros. Deixe a largura ser $x$ ; o comprimento é então $10 - x$ , e a área é

$A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

Derive: $A'(x) = 10 - 2x$ . Igualando a zero, obtemos $x = 5$ . Verifique os sinais: em $x = 3$ , $A' = 4 > 0$ (ainda subindo); em $x = 7$ , $A' = -4 < 0$ (já caindo) — positivo depois negativo, um cume genuíno. O comprimento também é 5, então a maior área é $5 \times 5 = 25$ metros quadrados: o quadrado vence.

Preço para lucro máximo

Cada item custa 10 para produzir, e a um preço de $p$ você vende $(100 - p)$ itens. O lucro é

$P(p) = (p - 10)(100 - p) = -p^2 + 110p - 1000$

Derive: $P'(p) = -2p + 110$ , zero em $p = 55$ . Verifique os sinais: em $p = 50$ , $P' = 10 > 0$ ; em $p = 60$ , $P' = -10 < 0$ — outro cume positivo-depois-negativo. Preço em 55, venda 45 itens, e o lucro é $45 \times 45 = 2025$ .

Não se esqueça dos extremos

Em um domínio limitado, os valores extremos podem se esconder nas extremidades — onde a inclinação existe apenas de um lado, a derivada não precisa ser zero. Domínios reais geralmente vêm com bordas anexadas: uma largura de cerca não pode ser negativa, e um preço não pode cair abaixo do custo — escreva os limites primeiro, ou a verificação de extremidades não terá para onde mirar. Ambos os problemas acima receberam a verificação de cortesia: as extremidades da cerca $x = 0$ e $x = 10$ dão área 0, e as extremidades de preço $p = 10$ (trabalhando de graça) e $p = 100$ (sem compradores) dão lucro 0 — muito abaixo dos campeões internos 25 e 2025. O procedimento completo é três passos mais um olhar: resolva $f'(x) = 0$ , verifique os sinais, compare as extremidades. Picos e vales de parábolas são fáceis de identificar em um gráfico — veja Representação Gráfica de Quadráticas; o procedimento de diferenciação vem de Introdução às Derivadas, com uma referência rápida em Regras de Derivadas; a próxima parada adiante é Integração.

Verifique-se

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. À esquerda de um ponto, f′ é positivo; à direita, negativo. O que é esse ponto?
2. A derivada de A(x) = 10x − x² é?
3. Um ponto crítico é garantido como máximo ou mínimo?