Regras de Derivação

Na última lição, encontrar a inclinação de uma curva exigia secantes, limites e um bom esforço. Se cada derivada exigisse todo esse ritual, o cálculo seria um trabalho pesado. A boa notícia: você só sofre com isso uma vez — os matemáticos reduziram os resultados a algumas regras curtas de derivação, e depois disso a maioria das derivadas pode ser escrita de relance.

A inclinação de uma constante é zero

Caminhe o quanto quiser ao longo de uma linha horizontal e a altura nunca muda, então a derivada de uma constante é zero:

$\frac{d}{dx} \, 7 = 0$

Não subestime esse 0: significa que qualquer termo constante em uma soma simplesmente sai durante a derivação, deixando apenas as partes que realmente se movem.

A regra da potência: traga o expoente para baixo

Para $f(x) = x^n$, a derivada é

$f'(x) = n \, x^{n-1}$

A receita tem duas linhas: traga o expoente para baixo como coeficiente e, em seguida, reduza o expoente em um. Tente $f(x) = x^3$:

$f'(x) = 3x^2$

A regra prevê uma inclinação de $3 \times 1^2 = 3$ em $x = 1$. Palavras são baratas — verifique com uma secante, como da última vez.

Como usar

Ponto x₀0.5Passo h1.5

Inclinação da secante

2.500

Inclinação da tangente

1.000

Arraste h em direção a 0 e a secante abraça a tangente — isso é a derivada.

O expoente não precisa ser um número inteiro: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ tem derivada $\frac{1}{2}x^{-1/2}$ — veja Expoentes para saber como funcionam os expoentes fracionários.

Multiplique e some: as derivadas jogam limpo

Mais duas regras fáceis:

• Múltiplo constante: estique uma curva por um fator e sua inclinação estica pelo mesmo fator. A derivada de $f(x) = 5x^2$ é $f'(x) = 10x$ — o 5 permanece intacto do lado de fora enquanto a regra da potência lida com $x^2$;
• Soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Diferencie termo a termo; cada termo cuida da própria vida.

Juntando tudo: um exemplo resolvido

Empilhe as regras para diferenciar $f(x) = x^2 + 3x$:

• $x^2$ diferencia para $2x$;
• $3x$ diferencia para $3 \times 1 = 3$ — já que $x$ é $x^1$, trazer o 1 para baixo deixa $x^0 = 1$.

Então

$f'(x) = 2x + 3$

A derivada é uma função por si só: inclinação 3 em $x = 0$, inclinação 1 em $x = -1$; a inclinação chega a zero em $x = -\frac{3}{2}$ — que é exatamente o fundo desta parábola. Uma regra, e até a localização do vale vem de graça.

Cada uma dessas regras foi provada uma vez, cuidadosamente, com limites — e nunca mais precisa ser provada. Você trabalhou duro uma vez em Introdução às Derivadas, e a partir de então cada $x^n$ leva segundos. A matemática está cheia de pechinchas assim: prove uma vez, use para sempre.

Verifique-se

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Para f(x) = x⁵, a derivada é?

   5x⁴x⁴4x⁵

2. 2. Qual é a derivada da constante 9?

   910

3. 3. Para f(x) = x² + 4x, a derivada é?

   x + 42x + 42x + 4x