Introdução às Derivadas

Desça por uma estrada de montanha: alguns trechos fazem você apertar os freios, outros mal precisam de pedal. A inclinação dessa estrada não é um número único — ela muda ao longo do caminho. Como você diz exatamente o quão íngreme ela é neste exato momento? Essa é a pergunta que as derivadas respondem.

Uma linha reta tem apenas uma inclinação

Uma linha reta mantém sua promessa: onde quer que você esteja, um passo à frente eleva você na mesma proporção, então uma única inclinação descreve a linha inteira — veja Equação de uma Linha Reta.

Uma curva não tem esse privilégio. A parábola $y = x^2$ achata à esquerda e inclina mais à direita, então perguntar por sua inclinação não tem sentido até você primeiro perguntar: inclinação em qual ponto?

Inclinação média primeiro, depois aproxime-se do instante

Obter a inclinação exata de uma só vez é difícil, então primeiro dê um passo para trás. Escolha dois pontos na curva e conecte-os com uma linha — essa linha é uma secante. Sua inclinação é a variação vertical sobre o progresso horizontal:

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Essa é a inclinação média entre os dois pontos — a mesma ideia da velocidade média em Velocidade e Movimento: a inclinação da corda em uma curva de posição é a velocidade média nesse intervalo.

Agora a mágica: mantenha um ponto fixo e deslize o outro ao longo da curva em direção a ele. À medida que $h$ diminui, a inclinação da secante se aproxima de um valor definido; quando os dois pontos quase coincidem, a secante se tornou uma tangente — abraçando a curva, sua inclinação é a verdadeira inclinação da curva naquele ponto.

InterativoSecante à Tangente

Como usar

Ponto x₀0.5Passo h1.5

Inclinação da secante

2.500

Inclinação da tangente

1.000

Arraste h em direção a 0 e a secante abraça a tangente — isso é a derivada.

Experimente: veja a inclinação se estabilizar

Para $f(x) = x^2$ , calcule as inclinações das secantes de $x = 1$ a um ponto a uma distância $h$ . Com $h = 1$ você obtém $(4-1) \div 1 = 3$ ; com $h = 0,1$ você obtém $2,1$ ; com $h = 0,01$ você obtém $2,01$ ... marchando em direção a $2$ . Portanto, a inclinação da curva em $x = 1$ é $2$ .

A inclinação em cada ponto é, ela mesma, uma função, escrita $f'(x)$ e lida "f linha" — seu nome é derivada.

O que a linha significa

$f'(x)$ é uma nova função: forneça a ela uma posição $x$ , e ela retorna a inclinação da curva naquele ponto. Transformar $f$ em $f'$ é como transformar um hodômetro em um velocímetro.

Teste em x²

Para $f(x) = x^2$ , o cálculo diz que $f'(x) = 2x$ . Verifique:

Em $x = 1$ , a inclinação é $f'(1) = 2$ ;
Em $x = 2$ , a inclinação é $f'(2) = 4$ .

A parábola realmente fica mais íngreme para a direita, subindo da inclinação 2 para 4 — isso se encaixa. Verifique também uma média: entre $x = 2$ e $x = 4$ , $\frac{16-4}{4-2} = 6$ , que fica exatamente entre as inclinações das tangentes 4 e 8 nas extremidades. Tudo concorda.

Para que servem as derivadas

Uma derivada é um velocímetro para mudanças:

Diferencie a posição em relação ao tempo e você obtém velocidade — o número em um velocímetro de carro é na verdade uma derivada da posição;
Diferencie população, temperatura ou vendas ao longo do tempo e você aprende quão rápido elas sobem ou descem;
Engenheiros a usam para encontrar máximos e mínimos: onde a inclinação muda de positiva para negativa, esse é o topo da colina.

Todo o cálculo se apoia nesse único movimento: comprimir uma média em um instante.

Verifique você mesmo

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Para f(x) = x² a derivada é f'(x) = 2x. Qual é a inclinação da curva em x = 3?
2. Para f(x) = x², qual é a inclinação da secante que une x = 1 e x = 2?
3. Diferencie a curva da posição ao longo do tempo e você obtém?