Introdução à Integração

Derivadas cortam uma função cada vez mais finamente para inspecionar a inclinação em cada ponto; a integração vai no sentido oposto — ela soma inúmeras pequenas partes de volta em um todo. Como podem infinitas partes somar uma única resposta definida? Exatamente a ideia de "aproximação sem fim" de Limites.

Corte a área em faixas

Encontre a área sob $y = x$ de 0 a 2. Ela é um triângulo: base 2, altura 2, área $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.

Mesmo sem a fórmula do triângulo, as faixas se aproximam da resposta:

Corte infinitamente fino, então some tudo — esse movimento tem um nome oficial: integração.

O sinal de ∫ e a antiderivada

O sinal de integral $\int$ é um S esticado, um lembrete de que seu coração é Somar. Seu uso mais comum pergunta: de quem é a derivada da função que tenho em mãos?

$\int 2x \, dx = x^2 + C$

Como $(x^2)' = 2x$, a integral de 2x é $x^2$. A integração é o inverso da diferenciação: o que a derivada desmontou, a integral remonta. O $C$ extra é a constante de integração — $x^2 + 5$ e $x^2 - 3$ ambos diferenciam para 2x, e C registra a diferença ao remontar.

A integral definida: adicionando limites

Escreva o intervalo acima e abaixo do sinal de integral, e a resposta passa de uma família de funções para um único número:

$\int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{4}{2} - 0 = 2$

Exatamente a área do triângulo da primeira seção! Com limites é uma integral definida (um número, geralmente uma área ou um total); sem limites, uma integral indefinida (uma família de funções, com um C no final).

Para que serve a integração

• Distância a partir da velocidade: viajando a 30 km/h por 2 horas, a área sob o gráfico velocidade-tempo é um retângulo de valor $30 \times 2 = 60$ km — a área sob o gráfico é a distância percorrida. Uma velocidade variável funciona do mesmo jeito, só que com partes de topo curvo;
• Totais a partir de taxas de fluxo: água fluindo a 5 litros por minuto entrega 50 litros em 10 minutos; quando o fluxo aumenta e diminui, some a contribuição de cada pequeno trecho — integração novamente;
• Leitura de medidores, probabilidade sob uma curva — onde quer que "algo que muda precise ser acumulado", a integração está por trás.

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Sob y = x de 0 a 2 está um triângulo. Qual é sua área?

   124

2. 2. Qual função tem derivada 2x?

   x² + C½x² + C2x + C

3. 3. Dirigindo firmemente a 30 km/h por 2 horas: a área sob o gráfico de velocidade é a distância. Qual é a distância?

   15 km30 km60 km