Equações Simultâneas

Uma incógnita com uma equação — resolver equações lineares cobriu isso. A vida real, porém, muitas vezes entrega duas incógnitas de uma vez: "Quanto custa uma maçã? E uma laranja?" Uma pista sozinha deixa infinitas respostas; duas pistas juntas prendem a resposta.

Duas incógnitas, duas pistas

Considere este par:

$x + y = 10, \qquad x - y = 2$

Quais são $x$ e $y$ ? A primeira equação sozinha tem infinitas soluções (1 e 9, 5 e 5, 6.5 e 3.5...); a segunda também. Uma equação não resolve — só juntas elas fixam um único par. É isso que um "sistema" significa, e é isso que "simultâneo" significa: o par que você encontra deve satisfazer as duas equações ao mesmo tempo.

Substituição: troque uma incógnita por uma expressão

Substituição, passo a passo

Resolva $x + y = 10$ , $x - y = 2$ .

A partir da segunda equação, escreva $x$ em termos de $y$ : $x = y + 2$ ;
Substitua na primeira: $(y + 2) + y = 10$ , isto é, $2y + 2 = 10$ ;
Subtraia 2 dos dois lados, depois divida por 2: $y = 4$ ;
Substitua de volta: $x = y + 2 = 6$ .

A solução é $x = 6$ , $y = 4$ . Duas incógnitas, mas eliminamos uma primeiro e chegamos a uma equação familiar com uma incógnita.

Eliminação: incógnitas desaparecem ao somar

Um caminho mais rápido é simplesmente somar as duas equações: à esquerda, $x + x$ vira $2x$ , enquanto $y$ e $-y$ se cancelam; à direita, $10 + 2 = 12$ :

$2x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 6$

Substitua $x = 6$ em qualquer uma das equações para obter $y = 4$ . Você também poderia subtrair: $(x + y) - (x - y) = 10 - 2$ dá $2y = 8$ , então $y = 4$ . Mesmo sistema, mesma resposta — substituição e eliminação são dois caminhos para um destino. Escolha o que combinar melhor com os coeficientes.

Na prática: maçãs e laranjas

Um sistema de equações de feira

3 maçãs mais 2 laranjas custam 13; 1 maçã mais 1 laranja custa 5. Quanto custa cada uma?

Seja uma maçã $a$ e uma laranja $o$ : $3a + 2o = 13$ e $a + o = 5$ .

A partir da segunda, $o = 5 - a$ ; substitua: $3a + 2(5 - a) = 13$ ;
Expanda: $3a + 10 - 2a = 13$ , então $a + 10 = 13$ e $a = 3$ ;
Então $o = 5 - 3 = 2$ . Maçãs custam 3, laranjas custam 2.

Um atalho mental: dobre "1 maçã 1 laranja" para virar "2 maçãs 2 laranjas por 10" e compare com "3 maçãs 2 laranjas por 13" — o extra é exatamente uma maçã, valendo 3. Isso é eliminação feita de cabeça.

Confira nas duas

Depois de resolver, substitua o par de volta em ambas as equações: $6 + 4 = 10$ vale, $6 - 4 = 2$ vale — só então você terminou. Uma equação não basta; muitos pares satisfazem apenas uma.

Confira você mesmo

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. x+y=10 e x−y=2. Qual é x?
2. Por que resolver duas incógnitas exige duas equações?
3. 3 maçãs e 2 laranjas custam 13; 1 maçã e 1 laranja custam 5. Preço de uma maçã?