Equações Quadráticas

Lance uma bola para cima e ela traça um arco curvo antes de cair; o jato de uma fonte e o mergulho de uma montanha-russa são todos parentes dessa curva. Ela é chamada de parábola, e o diretor nos bastidores é uma equação que carrega $x^2$. E $x^2$ é apenas $x \cdot x$ — o atalho de multiplicação de Expoentes, assumindo o papel principal hoje.

O que torna uma equação quadrática

Observe a maior potência de x na expressão:

• $2x + 1 = 0$: a maior potência é 1 — negócio de linha reta, regido pela Equação da Linha Reta;
• $x^2 - 3x - 10 = 0$: a maior potência é $x^2$ — esta é uma equação quadrática.

Na forma geral, ela é escrita como $ax^2 + bx + c = 0$ (com $a \ne 0$). No momento em que $a = 0$, o termo $x^2$ desaparece e a equação volta a ser uma linha.

Faça uma tabela, e a parábola aparece

Construa uma tabela para $y = x^2$:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Duas observações:

• y nunca é negativo — elevar ao quadrado nunca entra em dívida;
• x em $-3$ e $3$ ambos dão $y = 9$: o gráfico é simétrico em espelho e se curva em uma tigela. Essa tigela é a parábola.

Resolvendo: fatore primeiro, depois conquiste cada um

Resolva $x^2 - 3x - 10 = 0$. O lado esquerdo fatora em dois parênteses — encontre dois números cujo produto é $-10$ e cuja soma é $-3$: eles são $-5$ e $2$. Então

$(x - 5)(x + 2) = 0$

O passo chave: se dois números multiplicados dão 0, pelo menos um deles é 0. Então ou

$x - 5 = 0$

ou

$x + 2 = 0$

dando $x = 5$ ou $x = -2$. Substitua ambos de volta para verificar: $5^2 - 3 \times 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$, e $(-2)^2 - 3 \times (-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$. Ambos são válidos. Por que duas respostas? Uma parábola pode cruzar o eixo x em dois pontos, e cada cruzamento é uma solução. A arte da fatoração tem seu próprio tour em Fatoração.

Uma chave reserva: a fórmula quadrática

Quando a fatoração trava, não entre em pânico — há uma chave mestra. Para $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

O $\pm$ é lido como "mais ou menos": ambas as respostas saem juntas. Experimente na mesma $x^2 - 3x - 10 = 0$: aqui $a = 1$, $b = -3$, $c = -10$, então

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

O sinal de mais dá $x = 5$, o sinal de menos dá $x = -2$ — mesmo destino que a fatoração, por um caminho diferente.

Da linha à parábola

Como usar

Inclinação m1Intercepto b2

y = x + 2

intercepto em y

(0, 2)

intercepto em x

(-2, 0)

Este é o antigo palco da lição de linha reta: arraste $m$ e $b$, e para cada passo que x cresce, y cresce na mesma quantidade — que é exatamente por que uma linha nunca se curva. As quadráticas fazem o oposto: na tabela para $y = x^2$, os passos em y são $1, 3, 5, 7$, cada vez mais rápidos, então o gráfico se curva cada vez mais abruptamente. Uma linha se move a um ritmo constante, uma parábola acelera — essa única curva abre um mundo totalmente novo.

Verifique-se

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Qual é uma equação quadrática?

   x² - 4 = 03x + 1 = 0x = 8

2. 2. Quais são as soluções de (x - 5)(x + 2) = 0?

   x = 5 ou x = -2apenas x = 5x = -2 ou x = 2

3. 3. Usando a fórmula quadrática em x² - 3x - 10 = 0, qual é b?

   -33-10