Equação de uma Linha Reta

Toda linha que uma régua pode desenhar — íngreme ou plana — cabe em uma única fórmula curta. Leia bem e duas letras dirão como é a linha inteira. As letras $m$ e $b$ funcionam exatamente como as variáveis que você treinou em Variáveis e a Máquina de Funções.

y = mx + b: cada letra tem um trabalho

$y = mx + b$

• $m$ é a inclinação: quão íngreme a linha sobe;
• $b$ é o intercepto: onde a linha encontra o eixo y — seu ponto de partida quando $x = 0$;
• Marque cada ponto $(x, y)$ que satisfaz a fórmula e eles se alinham, perfeitamente retos.

Tome $y = 2x + 1$: quando $x = 0$, $y = 1$, então a linha parte de $(0, 1)$; cada vez que $x$ cresce 1, $y$ cresce 2.

Inclinação m: subida sobre corrida

A inclinação responde a uma pergunta: para cada passo à frente, quanto você sobe?

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

A letra grega $\Delta$ (delta) significa "variação": $\Delta y$ é quanto y variou, $\Delta x$ é quanto x variou. Por exemplo, uma linha que passa por $(1, 3)$ e $(4, 9)$:

$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Um passo para a direita, dois passos para cima. Quanto maior $m$, mais íngreme a linha: com $m > 0$ a linha sobe para a direita, com $m < 0$ ela desce.

Linhas horizontais e verticais

Duas linhas merecem um olhar mais atento:

• Linhas horizontais, como $y = 3$: x se move, y nunca se mexe, então a inclinação é $m = 0$ — nenhuma inclinação;
• Linhas verticais, como $x = 2$: y se move, x nunca se mexe. Esta é a única linha que $y = mx + b$ não pode escrever — $\Delta x = 0$, e dividir por zero não tem significado, então uma linha vertical não tem inclinação.

m e b na vida real

Um plano de telefone: 19 yuans por mês, mais 3 yuans por GB de dados. Deixe $x$ ser os GB usados e $y$ a conta:

$y = 3x + 19$

$m = 3$ é a taxa de variação: cada GB extra custa 3 yuans a mais. $b = 19$ é o ponto de partida: a taxa mensal que você paga mesmo com zero dados. Em 10 GB, $y = 3 \times 10 + 19 = 49$ yuans.

Muitas situações reais compartilham essa forma: $b$ é a base fixa, $m$ é a parte de pagamento por uso.

Laboratório de Linhas

Como usar

Inclinação m1Intercepto b2

y = x + 2

intercepto em y

(0, 2)

intercepto em x

(-2, 0)

Arraste os controles deslizantes para $m$ e $b$. Mova apenas $b$ primeiro e observe a linha inteira deslizar; depois mova apenas $m$ e observe-a girar em torno do intercepto — mais plana, mais íngreme, subindo ou descendo.

Verifique-se

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Uma linha passa por (0, 5) e sobe 2 para cada 1 que se move para a direita. Qual é a sua equação?

   y = 2x + 5y = 5x + 2y = 2x - 5

2. 2. Qual linha é mais íngreme?

   y = 3x + 1y = 2x + 8y = x + 100

3. 3. O plano é 19 yuans por mês mais 3 yuans por GB. Quanto custam 10 GB?

   49 yuans30 yuans19 yuans