Geometría
Cuerpos geométricos
Caras, aristas, vértices, más una fórmula de Euler que los conecta a todos.
Las figuras en papel son planas; una caja de zapatos se levanta. Pasar de plano a sólido agrega una dimensión, y algunas cosas que vale la pena contar. En el plano estudiamos el perímetro y el área; en el espacio las estrellas son las caras, las aristas, los vértices y el volumen.
De plano a sólido
Las figuras planas solo tienen largo y ancho, como un triángulo, un círculo o un rectángulo. Los cuerpos geométricos agregan altura y pueden contener cosas. Tres palabras describen cualquier sólido:
- Cara: una parte plana de la superficie;
- Arista: un segmento donde se encuentran dos caras;
- Vértice: un punto donde se encuentran aristas.
Toma un cubo: 6 caras, 12 aristas, 8 vértices.
Un truco para contar aristas
Cada arista es compartida por dos caras, así que el número de aristas es igual al total de lados de todas las caras ÷ 2. Un cubo tiene 6 caras con 4 lados cada una: aristas.
Fórmula de Euler: un patrón que puedes contar
Para cualquier poliedro sin agujeros, el número de vértices , aristas y caras cumple una identidad:
- Cubo: ✓
- Pirámide cuadrangular: 5 vértices, 8 aristas, 5 caras — ✓
Comprueba uno más: el prisma triangular
Un prisma triangular tiene dos bases triangulares y tres lados rectangulares: 6 vértices, aristas, 5 caras. Sustituye: . Funciona otra vez.
Cómo usar
V = l × w × h = 4 × 3 × 2 = 24
Capa inferior
12
Capas
2
Construye un prisma rectangular con cubos unitarios: coloca una capa inferior de cubos, apila capas, y tendrás cubos en total. Gana fluidez contando cubos y el volumen viene de manera natural.
La familia de sólidos comunes
- Prisma rectangular y cubo: 6 caras, todas rectángulos (o cuadrados);
- Prisma: dos bases paralelas idénticas con lados rectangulares, como un prisma triangular o hexagonal;
- Pirámide: una base con lados que son todos triángulos, que se encuentran en un ápice;
- Cilindro: dos caras circulares más una superficie curva;
- Cono: una cara circular con una superficie curva que se estrecha hasta un punto;
- Esfera: una superficie curva por todas partes, sin aristas ni vértices.
No fuerces la fórmula de Euler
Los cilindros, conos y esferas tienen superficies curvas, así que no son poliedros y no aplica: la fórmula vale para sólidos limitados por caras planas, sin agujeros en medio.
Redes y sólidos a tu alrededor
Corta una caja por algunas aristas y aplánala: el resultado plano es una red. La red de un cubo son 6 cuadrados unidos por aristas, y hay 11 arreglos diferentes. El diseño de empaques, el origami y el trabajo con láminas metálicas funcionan con redes.
Los sólidos se esconden a plena vista: una lata de refresco es un cilindro, un cono de helado es un cono, un balón de fútbol se parece a una esfera, una caja de envío es un prisma rectangular, las pirámides de Egipto son pirámides cuadrangulares. Mira a tu alrededor y encuentra los cinco.
Comprueba lo aprendido
Cuestionario rápido
1. ¿Cuántas aristas tiene un cubo?
2. Para una pirámide cuadrangular, ¿cuánto vale V − E + F?
3. ¿Qué sólido tiene exactamente una cara circular y un ápice?