Congruencia y semejanza

Dos páginas de la fotocopiadora se alinean perfectamente borde con borde; el contorno de un país en una imagen de un libro de texto y en un mapa de pared difieren muchísimo en tamaño, pero coinciden perfectamente en forma. La primera relación es congruencia, la segunda semejanza: los dos tipos más importantes de "igualdad" en geometría.

Congruente: capaz de coincidir exactamente

Dos figuras son congruentes si una puede deslizarse, girarse (y voltearse si es necesario) hasta caer exactamente sobre la otra: misma forma y mismo tamaño. Para los triángulos, tres pares de lados iguales son suficientes: fija los tres lados y la forma no puede moverse, la rigidez de los triángulos en acción. Las figuras congruentes son copias hechas con el mismo molde: ángulos correspondientes iguales, lados correspondientes iguales.

Semejante: misma forma, distinto tamaño

Dos figuras son semejantes cuando sus formas coinciden, pero sus tamaños pueden diferir. Las reglas son claras:

• Todos los ángulos correspondientes son iguales;
• Todos los lados correspondientes cambian por el mismo multiplicador, llamado factor de escala.

Escala los lados por $k$ y el perímetro también se escala por $k$; pero el área se escala por $k^2$, porque la longitud y el ancho cambian al mismo tiempo.

Un triángulo escalado por 3

Cómo usar

Cateto a3Cateto b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

Hipotenusa c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

Arrastra los dos catetos: hagas lo que hagas, sigue siendo un triángulo rectángulo; la forma se mantiene. Pero los lados, el perímetro y el área siguen tu mano: el tamaño cambia. Esa es la semejanza en su forma más visible.

Mapas, modelos y planos

La semejanza está en todas partes: un mapa 1:100000 reduce el mundo real 100000 veces, así que 1 cm en el papel significa 1 km en el terreno; los modelos a escala, los dibujos de piezas y el cambio de tamaño de fotos dependen de la misma regla: ángulos correspondientes iguales, lados correspondientes proporcionales. Quédate con esa idea, agrega el arte de las razones, y podrás convertir libremente entre mundos de distintos tamaños.

Compruébalo

Cuestionario rápido

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0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. Dos figuras son congruentes. ¿Qué garantiza eso?

   Misma forma y mismo tamañoMisma forma, el tamaño puede diferirSolo áreas iguales

2. 2. Un triángulo con lados 3, 4, 5 se escala por 3. ¿Cuál es ahora el lado más largo?

   121520

3. 3. Una figura se agranda por un factor de 3. Su área se vuelve

   3 veces6 veces9 veces