Diagramas de Venn

Algunos compañeros se unieron al club de fútbol, otros al club de básquetbol y unos cuantos se unieron a ambos. Las listas están en dos hojas de papel, y contar quién quedó anotado dos veces, o quién no aparece en ninguna, se vuelve un lío. Dibuja las dos listas como dos círculos y todo se aclara de inmediato. Eso es un diagrama de Venn: círculos que se superponen para que los conjuntos puedan ordenarse. Recolectar datos empieza con un cuestionario (consulta encuestas y muestreo); esta lección trata sobre desenredar los datos una vez que regresan.

Intersección: la superposición

Coloca dos círculos uno encima del otro y la región compartida del centro es la intersección: los miembros que pertenecen a ambos grupos. Los estudiantes a quienes les gusta el fútbol y el básquetbol están exactamente ahí.

Supón que el conjunto $A$ tiene 20 personas, el conjunto $B$ tiene 14, y la intersección contiene 6. Entonces la parte que pertenece solo a $A$ es $20 - 6 = 14$ personas: resta primero las 6 para que nadie se cuente dos veces.

Unión: ambos círculos como uno solo

Toda el área cubierta por los dos círculos es la unión: todos los que están en al menos un grupo, posiblemente en ambos. Sumar directamente los tamaños de los grupos contaría dos veces la intersección, así que hay que restarla:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Con los números de arriba: $20 + 14 - 6 = 28$ personas. Ese 6 que se resta es exactamente el grupo contado dos veces, por fin contado una sola vez.

Complemento: el mundo fuera del círculo

Dentro del círculo viven los miembros; fuera de él también hay historias. El complemento es todo lo que “no está en el conjunto”. De 40 estudiantes, a 26 les gustan las matemáticas, así que el complemento, los que no, suma $40 - 26 = 14$ . Las encuestas suelen pasar por alto precisamente a las personas fuera del círculo.

Ejemplo resuelto: dos clubes, una imagen

Fútbol y básquetbol

En una clase de 40, a 25 estudiantes les gusta el fútbol, a 18 les gusta el básquetbol y a 10 les gustan ambos. ¿A cuántos les gusta solo el fútbol, solo el básquetbol y ninguno?

Solo fútbol: $25 - 10 = 15$ ; solo básquetbol: $18 - 10 = 8$ ; la intersección del medio contiene 10. Al sumar las tres regiones, $15 + 10 + 8 = 33$ estudiantes gustan de al menos un deporte, así que $40 - 33 = 7$ no gustan de ninguno. Un solo diagrama de círculos responde cuatro preguntas de una vez.

¿Y qué pasa con tres círculos?

Cambia a tres círculos: sabe nadar, sabe andar en bicicleta, sabe patinar, y el interior de la imagen se divide en 7 regiones: 3 que pertenecen exactamente a un grupo, 3 a exactamente dos, y 1 a los tres, ya que $3 + 3 + 1 = 7$ . Cada círculo extra casi duplica las regiones, así que los problemas con tres conjuntos deben contarse región por región. Este hábito de contar regiones es la base para contar resultados en probabilidad.

Revisa tu comprensión

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. El conjunto A tiene 20 personas, el conjunto B tiene 14, y la intersección tiene 6. ¿Qué tan grande es la unión?
2. En una clase de 30, a 18 estudiantes les gusta el fútbol, a 15 les gusta el básquetbol y a 8 les gustan ambos. ¿A cuántos no les gusta ninguno?
3. Dos conjuntos tienen una intersección vacía. ¿Qué significa eso?