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Sección actual：La pendiente de una constante es cero

Cálculo

Reglas de derivación

Tres reglas breves que convierten la derivación de un cálculo con límites en unos segundos de aritmética mental.

En la lección anterior, encontrar la pendiente de una curva tomó secantes, límites y bastante esfuerzo. Si cada derivada exigiera todo ese ritual, el cálculo sería trabajo pesado. La buena noticia: solo tienes que sufrirlo una vez. Los matemáticos resumieron los resultados en unas cuantas reglas de derivación, y después de eso la mayoría de las derivadas se pueden escribir de un vistazo.

La pendiente de una constante es cero

Camina todo lo que quieras a lo largo de una línea horizontal y la altura nunca cambia, así que la derivada de una constante es cero:

ddx 7=0\frac{d}{dx} \, 7 = 0

No subestimes este 0: significa que cualquier término constante en una suma simplemente sale durante la derivación, dejando solo las partes que realmente se mueven.

La regla de la potencia: baja el exponente

Para f(x)=xnf(x) = x^n, la derivada es

f′(x)=n xn−1f'(x) = n \, x^{n-1}

La receta tiene dos líneas: baja el exponente como coeficiente, luego reduce el exponente en uno. Prueba con f(x)=x3f(x) = x^3:

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

La regla predice una pendiente de 3×12=33 \times 1^2 = 3 en x=1x = 1. Hablar es fácil: compruébalo con una secante, como la vez pasada.

InteractivoVerificador de pendiente

Cómo usar

Pendiente secante

2.500

Pendiente tangente

1.000

Arrastra h hacia 0 y la secante se acerca a la tangente: eso es la derivada.

Pruébalo: la secante coincide

Para f(x)=x3f(x) = x^3, empieza en x=1x = 1 con separación hh. Con h=1h = 1 la pendiente de la secante es (23−1)÷1=7(2^3 - 1) \div 1 = 7; con h=0.1h = 0.1 es (1.331−1)÷0.1=3.31(1.331 - 1) \div 0.1 = 3.31; con h=0.01h = 0.01 es 3.03013.0301... acercándose a 3. La regla da exactamente este valor límite.

El exponente no tiene que ser un número entero: x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2} tiene derivada 12x−1/2\frac{1}{2}x^{-1/2}; consulta Exponentes para ver cómo funcionan los exponentes fraccionarios.

Multiplicar y sumar: las derivadas juegan limpio

Dos reglas fáciles más:

  • Múltiplo constante: estira una curva por un factor y su pendiente se estira por el mismo factor. La derivada de f(x)=5x2f(x) = 5x^2 es f′(x)=10xf'(x) = 10x: el 5 se queda afuera sin tocarse mientras la regla de la potencia se encarga de x2x^2;
  • Suma: la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Deriva término por término; cada término se ocupa de lo suyo.

Poniéndolo todo junto: un ejemplo resuelto

Apila las reglas para derivar f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x:

  • x2x^2 deriva a 2x2x;
  • 3x3x deriva a 3×1=33 \times 1 = 3: como xx es x1x^1, bajar el 1 deja x0=1x^0 = 1.

Entonces

f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3

La derivada es una función por derecho propio: pendiente 3 en x=0x = 0, pendiente 1 en x=−1x = -1; la pendiente llega a cero en x=−32x = -\frac{3}{2}, que es exactamente el fondo de esta parábola. Una regla, y hasta la ubicación del valle viene incluida.

Cada una de estas reglas se demostró una vez, con cuidado, usando límites, y nunca necesita demostrarse de nuevo. Trabajaste duro una vez en Introducción a las derivadas, y desde entonces cada xnx^n toma segundos. Las matemáticas están llenas de tratos así: demostrar una vez, usar para siempre.

Compruébalo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

  1. 1. Para f(x) = x⁵, ¿la derivada es?

  2. 2. ¿Cuál es la derivada de la constante 9?

  3. 3. Para f(x) = x² + 4x, ¿la derivada es?