Extremos y optimización

Una vez que puedes derivar, aparece la pregunta más natural: ¿dónde esta función es más alta y dónde es más baja? Una cerca que encierra el área más grande, un precio que genera la mayor ganancia: ambos son búsquedas de una "cima". El cálculo convierte la búsqueda de cimas en un procedimiento: derivar, igualar a cero, leer los signos. Tres pasos, y las cimas y los valles se revelan.

Puntos críticos: donde la derivada es cero

En el instante en que estás en una cima, no vas ni hacia arriba ni hacia abajo: la pendiente es cero. Las cimas y los valles de una función son iguales: la tangente es horizontal y la derivada se anula. Las soluciones de $f'(x) = 0$ se llaman puntos críticos. Observa que esto es solo una lista corta: toda cima y todo valle aparece en ella, pero no todo punto de la lista es una cima o un valle (algunos son solo un tramo plano). Una función puede tener varios puntos críticos, como un camino sinuoso con varias cimas y hondonadas, y el procedimiento se aplica una vez a cada candidato. Así que el primer paso siempre es resolver $f'(x) = 0$ y reunir los candidatos.

Leer cimas y valles a partir de los signos

El signo de la derivada a cada lado de un punto crítico anuncia su identidad:

Positivo y luego negativo: sube, luego baja: un máximo local (una cima);
Negativo y luego positivo: baja, luego sube: un mínimo local (el fondo de un valle);
El mismo signo en ambos lados: un cruce nivelado, ni cima ni valle.

InteractivoObservatorio del cambio de pendiente

Cómo usar

Punto x₀0.5Paso h1.5

Pendiente secante

2.500

Pendiente tangente

1.000

Arrastra h hacia 0 y la secante se acerca a la tangente: eso es la derivada.

Arrastra $x_0$ hacia 0 y observa cómo la pendiente de esta parábola cambia de negativa a positiva, pasando exactamente por cero en el fondo del valle: negativa y luego positiva, un mínimo local de libro. Las cimas y los valles de toda función obedecen la misma regla de cambios de signo.

Dos problemas resueltos

Dos problemas, uno geométrico y uno comercial, siguen exactamente el mismo procedimiento.

Área más grande con 20 metros de cerca

Cerca un rectángulo con 20 metros. Sea $x$ el ancho; entonces el largo es $10 - x$ , y el área es

$A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

Deriva: $A'(x) = 10 - 2x$ . Igualarla a cero da $x = 5$ . Revisa los signos: en $x = 3$ , $A' = 4 > 0$ (todavía sube); en $x = 7$ , $A' = -4 < 0$ (ya baja): positivo y luego negativo, una cima verdadera. El largo también es 5, así que el área más grande es $5 \times 5 = 25$ metros cuadrados: gana el cuadrado.

Precio para ganancia máxima

Cada artículo cuesta 10 producirlo, y a un precio de $p$ vendes $(100 - p)$ artículos. La ganancia es

$P(p) = (p - 10)(100 - p) = -p^2 + 110p - 1000$

Deriva: $P'(p) = -2p + 110$ , cero en $p = 55$ . Revisa los signos: en $p = 50$ , $P' = 10 > 0$ ; en $p = 60$ , $P' = -10 < 0$ : otra cima de positivo a negativo. Pon el precio en 55, vende 45 artículos, y la ganancia es $45 \times 45 = 2025$ .

No olvides los extremos del intervalo

En un dominio limitado, los valores extremos pueden esconderse en los extremos del intervalo: donde la pendiente existe solo de un lado, la derivada no tiene por qué ser cero. Los dominios reales suelen llegar con bordes incluidos: el ancho de una cerca no puede ser negativo, y un precio no puede caer por debajo del costo. Escribe primero los límites, o la revisión de extremos no tendrá a qué apuntar. Ambos problemas anteriores recibieron esa revisión de cortesía: los extremos de la cerca $x = 0$ y $x = 10$ dan área 0, y los extremos de precio $p = 10$ (trabajar sin ganar nada) y $p = 100$ (sin compradores) dan ganancia 0, muy por debajo de los campeones interiores 25 y 2025. El procedimiento completo son tres pasos más una mirada: resuelve $f'(x) = 0$ , revisa los signos, compara los extremos del intervalo. Las cimas y los valles de las parábolas son fáciles de ver en una gráfica; consulta Graficar cuadráticas. El procedimiento de derivación viene de Introducción a las derivadas, con una referencia rápida en Reglas de derivación; la siguiente parada más adelante es Integración.

Compruébalo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. A la izquierda de un punto f′ es positiva, y a la derecha es negativa. ¿Qué es este punto?
2. ¿La derivada de A(x) = 10x − x² es?
3. ¿Está garantizado que un punto crítico sea un máximo o un mínimo?