Introducción a las derivadas

Baja por una carretera de montaña: algunos tramos te hacen apretar los frenos, otros apenas necesitan pedal. La inclinación de este camino no es un solo número: cambia a lo largo de todo el recorrido. ¿Cómo dices exactamente qué tan empinado está en este preciso momento? Esa es la pregunta que responden las derivadas.

Una línea recta tiene una sola pendiente

Una línea recta cumple su promesa: dondequiera que estés, un paso hacia adelante te eleva en la misma proporción, así que una sola pendiente describe toda la línea; consulta Ecuación de una línea recta.

Una curva no recibe ese trato. La parábola $y = x^2$ se aplana a la izquierda y se vuelve más inclinada a la derecha, así que preguntar por su pendiente no tiene sentido hasta que primero preguntas: ¿pendiente en qué punto?

Primero la pendiente promedio, luego acercarse al instante

Obtener la inclinación exacta de un salto es difícil, así que primero da un paso atrás. Elige dos puntos en la curva y conéctalos con una línea: esa línea es una secante. Su pendiente es el cambio vertical sobre el avance horizontal:

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Esa es la pendiente promedio entre los dos puntos: la misma idea que la rapidez promedio en Rapidez y movimiento: la pendiente de la cuerda en una curva de posición es la rapidez promedio durante ese intervalo.

Ahora la magia: mantén un punto fijo y desliza el otro por la curva hacia él. A medida que $h$ se reduce, la pendiente de la secante se acerca a un valor definido; cuando los dos puntos casi coinciden, la secante se ha convertido en una tangente: abrazando la curva, su pendiente es la verdadera inclinación de la curva en ese punto.

InteractivoDe secante a tangente

Cómo usar

Punto x₀0.5Paso h1.5

Pendiente secante

2.500

Pendiente tangente

1.000

Arrastra h hacia 0 y la secante se acerca a la tangente: eso es la derivada.

Pruébalo: observa cómo la pendiente se estabiliza

Para $f(x) = x^2$ , toma pendientes de secantes desde $x = 1$ hasta un punto a distancia $h$ . Con $h = 1$ obtienes $(4-1) \div 1 = 3$ ; con $h = 0.1$ obtienes $2.1$ ; con $h = 0.01$ obtienes $2.01$ ... avanzando hacia $2$ . Así que la inclinación de la curva en $x = 1$ es $2$ .

La inclinación en cada punto es en sí misma una función, escrita $f'(x)$ y leída "f prima": su nombre es la derivada.

Qué significa la prima

$f'(x)$ es una nueva función: le das una posición $x$ , y devuelve la pendiente de la curva allí. Convertir $f$ en $f'$ es como convertir un odómetro en un velocímetro.

Pruébalo con x²

Para $f(x) = x^2$ , el cálculo dice que $f'(x) = 2x$ . Compruébalo:

En $x = 1$ , la pendiente es $f'(1) = 2$ ;
En $x = 2$ , la pendiente es $f'(2) = 4$ .

La parábola realmente se vuelve más inclinada hacia la derecha, subiendo de pendiente 2 a 4: encaja. También haz una verificación puntual con un promedio: entre $x = 2$ y $x = 4$ , $\frac{16-4}{4-2} = 6$ , que cae limpiamente entre las pendientes tangentes 4 y 8 en los extremos. Todo concuerda.

Para qué sirven las derivadas

Una derivada es un velocímetro del cambio:

Deriva la posición con respecto al tiempo y obtienes velocidad: el número en el velocímetro de un auto es en realidad una derivada de la posición;
Deriva población, temperatura o ventas a lo largo del tiempo y aprendes qué tan rápido suben o bajan;
Los ingenieros la usan para encontrar máximos y mínimos: donde la pendiente cambia de positiva a negativa, ahí está la cima.

Todo el cálculo se apoya en este único movimiento: exprimir un promedio hasta convertirlo en un instante.

Compruébalo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. Para f(x) = x², la derivada es f'(x) = 2x. ¿Cuál es la pendiente de la curva en x = 3?
2. Para f(x) = x², ¿cuál es la pendiente de la secante que une x = 1 y x = 2?
3. Si derivas la curva de posición con respecto al tiempo, ¿qué obtienes?