Introducción a la integración

Derivadas corta una función cada vez más finamente para inspeccionar la pendiente en cada punto; la integración va en sentido contrario: suma incontables piezas pequeñas para reconstruir un todo. ¿Cómo pueden infinitas piezas sumar una respuesta definida? Exactamente con la idea de "acercarse sin fin" de Límites.

Divide el área en tiras

Encuentra el área bajo $y = x$ de 0 a 2. Es un triángulo: base 2, altura 2, área $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ .

Incluso sin la fórmula del triángulo, las tiras se acercan a la respuesta:

Ejemplo resuelto: rectángulos que encierran el área

Cubre la región con dos rectángulos de ancho 1. Tomar las alturas en los extremos izquierdos da $0 \times 1 + 1 \times 1 = 1$ , demasiado pequeño; en los extremos derechos, $1 \times 1 + 2 \times 1 = 3$ , demasiado grande. La respuesta verdadera, 2, queda perfectamente en medio. Cuanto más delgadas sean las tiras, más se acercan ambas estimaciones a 2; al dividir infinitamente delgado, "igualan" 2.

Divide infinitamente fino y luego suma todo: ese movimiento tiene un nombre oficial: integración.

El signo ∫ y la antiderivada

El signo integral $\int$ es una S estirada, un recordatorio de que su corazón es Sumar. Su uso más común pregunta: ¿de quién es derivada la función que tengo en la mano?

$\int 2x \, dx = x^2 + C$

Como $(x^2)' = 2x$ , la integral de 2x es $x^2$ . La integración es la inversa de la diferenciación: lo que la derivada separó, la integral lo vuelve a juntar. La $C$ adicional es la constante de integración: $x^2 + 5$ y $x^2 - 3$ tienen ambas derivada 2x, y C registra la diferencia al reconstruir.

La integral definida: agregar límites

Escribe el rango arriba y abajo del signo integral, y la respuesta pasa de ser una familia de funciones a un solo número:

$\int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{4}{2} - 0 = 2$

¡Exactamente el área del triángulo de la primera sección! Con límites es una integral definida (un número, usualmente un área o un total); sin límites es una integral indefinida (una familia de funciones, seguida de una C).

Para qué sirve la integración

Distancia a partir de la velocidad: al viajar a 30 km/h durante 2 horas, el área bajo la gráfica velocidad-tiempo es un rectángulo que vale $30 \times 2 = 60$ km: el área bajo la gráfica es la distancia recorrida. Una velocidad cambiante funciona del mismo modo, solo que con piezas de parte superior curva;
Totales a partir de tasas de flujo: agua que fluye a 5 litros por minuto entrega 50 litros en 10 minutos; cuando el flujo sube y baja, suma la contribución de cada pequeño tramo: otra vez integración;
Lecturas de medidores, probabilidad bajo una curva: dondequiera que "algo que cambia deba acumularse", la integración está detrás.

Ejemplo resuelto: de velocidad a distancia

Un auto viaja a 30 km/h durante 2 horas: distancia = área bajo la gráfica de velocidad = $30 \times 2 = 60$ km. Si conduce a 20 km/h durante la primera hora y a 40 km/h durante la segunda, el área se vuelve dos rectángulos: $20 \times 1 + 40 \times 1 = 60$ km; primero divide, luego suma.

Adivina, luego verifica

Antes de integrar, pregunta de quién es derivada esta función. Adivina una candidata y luego comprueba derivando; este hábito de "adivinar y verificar" resuelve la mayoría de las integrales que encuentras como principiante.

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. Bajo y = x de 0 a 2 hay un triángulo. ¿Cuál es su área?
2. ¿Qué función tiene derivada 2x?
3. Conducir de manera constante a 30 km/h durante 2 horas: el área bajo la gráfica de velocidad es la distancia. ¿Qué tan lejos?