Ecuaciones cuadráticas

Lanza una pelota hacia arriba y traza un arco curvo antes de caer; el chorro de una fuente y la bajada de una montaña rusa son parientes de esa curva. Se llama parábola, y el director tras bambalinas es una ecuación que lleva $x^2$. Y $x^2$ es simplemente $x \cdot x$: el atajo de multiplicación de exponentes, que hoy toma el papel principal.

Qué hace que una ecuación sea cuadrática

Mira la potencia más alta de x en la expresión:

• $2x + 1 = 0$: la potencia más alta es 1: asunto de rectas, gobernado por la ecuación de una recta;
• $x^2 - 3x - 10 = 0$: la potencia más alta es $x^2$: esta es una ecuación cuadrática.

En forma general se lee $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \ne 0$). En el momento en que $a = 0$, el término $x^2$ desaparece y la ecuación vuelve a ser una recta.

Haz una tabla y aparece la parábola

Construye una tabla para $y = x^2$:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Dos observaciones:

• y nunca es negativa: elevar al cuadrado nunca queda en deuda;
• x en $-3$ y $3$ dan ambos $y = 9$: la gráfica tiene simetría de espejo y se curva formando un cuenco. Ese cuenco es la parábola.

Resolverla: factoriza primero y luego conquista cada parte

Resuelve $x^2 - 3x - 10 = 0$. El lado izquierdo se factoriza en dos paréntesis: encuentra dos números cuyo producto sea $-10$ y cuya suma sea $-3$: son $-5$ y $2$. Entonces

$(x - 5)(x + 2) = 0$

El paso clave: si dos números se multiplican y dan 0, al menos uno de ellos es 0. Entonces, o bien

$x - 5 = 0$

o bien

$x + 2 = 0$

dando $x = 5$ o $x = -2$. Sustituye ambas respuestas para comprobar: $5^2 - 3 \times 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$, y $(-2)^2 - 3 \times (-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$. Ambas funcionan. ¿Por qué dos respuestas? Una parábola puede cruzar el eje x en dos puntos, y cada cruce es una solución. El arte de factorizar tiene su propio recorrido en factorización.

Una llave extra: la fórmula cuadrática

Cuando la factorización se atasca, no entres en pánico: hay una llave maestra. Para $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El $\pm$ se lee "más o menos": ambas respuestas salen juntas. Pruébala con la misma $x^2 - 3x - 10 = 0$: aquí $a = 1$, $b = -3$, $c = -10$, así que

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

El signo más da $x = 5$, el signo menos da $x = -2$: el mismo destino que con la factorización, por otro camino.

De recta a parábola

Cómo usar

Pendiente m1Intercepto b2

y = x + 2

intersección con y

(0, 2)

intersección con x

(-2, 0)

Este es el viejo escenario de la lección sobre rectas: arrastra $m$ y $b$, y por cada paso que crece x, y crece la misma cantidad, que es exactamente por qué una recta nunca gira. Las cuadráticas hacen lo contrario: en la tabla de $y = x^2$, los pasos en y son $1, 3, 5, 7$, cada vez más rápidos, así que la gráfica se curva cada vez con mayor inclinación. Una recta se mueve a ritmo constante, una parábola acelera: esa única curva abre todo un mundo nuevo.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

Intentar de nuevo

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. ¿Cuál es una ecuación cuadrática?

   x² - 4 = 03x + 1 = 0x = 8

2. 2. ¿Cuáles son las soluciones de (x - 5)(x + 2) = 0?

   x = 5 o x = -2solo x = 5x = -2 o x = 2

3. 3. Al usar la fórmula cuadrática en x² - 3x - 10 = 0, ¿cuánto vale b?

   -33-10