Ecuación de una recta

Toda recta que una regla puede trazar — inclinada o plana — cabe en una fórmula corta. Léela bien y dos letras te dirán cómo se ve toda la recta. Las letras $m$ y $b$ funcionan exactamente como las variables que practicaste en Variables y la máquina de funciones.

y = mx + b: cada letra tiene una tarea

$y = mx + b$

• $m$ es la pendiente: qué tan inclinada sube la recta;
• $b$ es la intersección: donde la recta se encuentra con el eje y — su punto de partida cuando $x = 0$;
• Grafica cada punto $(x, y)$ que satisface la fórmula y se alinean, perfectamente rectos.

Toma $y = 2x + 1$: cuando $x = 0$, $y = 1$, así que la recta parte de $(0, 1)$; cada vez que $x$ aumenta en 1, $y$ aumenta en 2.

Pendiente m: elevación sobre avance

La pendiente responde una pregunta: por cada paso hacia adelante, ¿cuánto subes?

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

La letra griega $\Delta$ (delta) significa "cambio": $\Delta y$ es cuánto cambió y, $\Delta x$ es cuánto cambió x. Por ejemplo, una recta que pasa por $(1, 3)$ y $(4, 9)$:

$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Un paso a la derecha, dos pasos hacia arriba. Mientras más grande sea $m$, más inclinada será la recta: con $m > 0$ la recta sube hacia la derecha, con $m < 0$ desciende.

Rectas horizontales y verticales

Dos rectas merecen una mirada más cercana:

• Rectas horizontales, como $y = 3$: x se mueve, y nunca cambia, así que la pendiente es $m = 0$ — sin inclinación;
• Rectas verticales, como $x = 2$: y se mueve, x nunca cambia. Esta es la única recta que $y = mx + b$ no puede escribir — $\Delta x = 0$, y dividir entre cero no tiene significado, así que una recta vertical no tiene pendiente.

m y b en la vida real

Un plan telefónico: 19 yuanes al mes, más 3 yuanes por GB de datos. Sea $x$ los GB usados y $y$ la cuenta:

$y = 3x + 19$

$m = 3$ es la tasa de cambio: cada GB extra cuesta 3 yuanes más. $b = 19$ es el punto de partida: la cuota mensual que pagas incluso con cero datos. Con 10 GB, $y = 3 \times 10 + 19 = 49$ yuanes.

Muchas situaciones reales comparten esta forma: $b$ es la base fija, $m$ es la parte que se paga por uso.

Laboratorio de rectas

Cómo usar

Pendiente m1Intercepto b2

y = x + 2

intersección con y

(0, 2)

intersección con x

(-2, 0)

Arrastra los controles deslizantes para $m$ y $b$. Mueve solo $b$ primero y observa cómo se desliza toda la recta; luego mueve solo $m$ y observa cómo pivota alrededor de la intersección — más plana, más inclinada, de subida a bajada.

Ponte a prueba

Cuestionario rápido

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0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. Una recta pasa por (0, 5) y sube 2 por cada 1 que se mueve a la derecha. ¿Cuál es su ecuación?

   y = 2x + 5y = 5x + 2y = 2x - 5

2. 2. ¿Cuál recta es la más inclinada?

   y = 3x + 1y = 2x + 8y = x + 100

3. 3. El plan cuesta 19 yuanes al mes más 3 yuanes por GB. ¿Cuánto cuestan 10 GB?

   49 yuanes30 yuanes19 yuanes