Desigualdades

Una ecuación dice "exactamente 49 yuanes", pero la vida habla más de "al menos 1.2 m de altura para subir" o "la bolsa no aguanta más de 10 libros". Las oraciones que contienen "al menos" y "no más que" se escriben en matemáticas como desigualdades. La mayoría de los pasos para resolverlas se toman directamente de resolver ecuaciones lineales, con un lugar que necesita cuidado especial y que aparece más abajo.

Los cuatro símbolos

$a < b$ : a es menor que b, así que a está a la izquierda de b;
$a > b$ : a es mayor que b, así que a está a la derecha de b;
$a \le b$ : a es como máximo b: menor o exactamente igual, ambos sirven;
$a \ge b$ : a es al menos b: mayor o exactamente igual, ambos cuentan.

El par con signo igual ( $\le$ , $\ge$ ) es el más fácil de confundir: "no más de 8 personas" puede ser exactamente 8; "más de 8" no: necesitas 9 para cumplir.

Dibujarlas en la recta numérica

La respuesta de una desigualdad a menudo no es un solo número, sino todo un tramo de números, y la recta numérica es su retrato:

$x > 3$ : todos los números a la derecha de 3. Dibuja un círculo abierto en 3 (el 3 no sirve) y una flecha hacia la derecha;
$x \le -1$ : −1 y todo lo que está a su izquierda. Dibuja un punto cerrado en −1 (−1 sí cumple) y una flecha hacia la izquierda.

Abierto o cerrado

Con un signo igual ( $\le$ , $\ge$ ), el punto es cerrado: el extremo está incluido; sin signo igual ( $<$ , $>$ ), el círculo es abierto: el extremo queda fuera. Una frase para recordar: igual significa sólido.

Resolver como una ecuación, con un giro

Mover términos, sumar o restar la misma cantidad en ambos lados: todos los pasos antiguos de las ecuaciones funcionan:

$x + 2 > 5 \implies x > 3$

Pero en el momento en que multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, el signo debe invertirse:

$-2x < 6 \implies x > -3$

¿Por qué? Los negativos reflejan la recta numérica: originalmente $2 < 3$ ; después de que ambos cambian de signo, se convierte en $-2 > -3$ . Al voltear el mundo, el menor que se vuelve mayor que.

Compruébalo para confiar

Resolver $-2x < 6$ dio $x > -3$ . Prueba $x = 0$ (a la derecha de $-3$ ): el lado izquierdo es $-2 \times 0 = 0$ , y en efecto $0 < 6$ ; funciona. Luego prueba $x = -4$ (a la izquierda de $-3$ ): el lado izquierdo es $-2 \times (-4) = 8$ , y $8 < 6$ falla; la región rechazada merecía ser rechazada.

Desigualdades en la vida cotidiana

Montaña rusa: altura $h \ge 1.2$ m: exactamente 1.2 m entra;
Elevador: cantidad de pasajeros $n \le 10$ : la persona número once espera el siguiente viaje;
Batería del teléfono: aparece una advertencia cuando la carga $b \le 20\%$ .

Traducir una oración a una desigualdad

"Los pasajeros de más de 1.4 m compran boleto de adulto": sea $h$ la altura en metros. "De más de" excluye el 1.4 mismo, así que escribe $h > 1.4$ . Si la regla fuera "1.4 m o más", se convierte en $h \ge 1.4$ : una palabra de diferencia, símbolos distintos.

Compruébalo

Cuestionario rápido

0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. ¿Cómo escribes “no más de 8 personas” en símbolos?
2. Resuelve -2x < 6. ¿Qué obtienes?
3. En una recta numérica, ¿cómo se dibuja el extremo de x ≥ 1?