Punto medio y distancia

Marca dos puntos en un mapa y aparecen dos preguntas a la vez: ¿dónde está el punto medio entre ellos y qué tan lejos están? En la cuadrícula de coordenadas, ambas preguntas tienen fórmulas limpias: una usa promedios, la otra usa el teorema de Pitágoras.

Punto medio: promedia las coordenadas

El punto medio de dos puntos toma el promedio de las coordenadas x y el promedio de las coordenadas y:

$\left( \frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

Para $(2, 3)$ y $(6, 7)$: la coordenada x es $\frac{2+6}{2} = 4$, la coordenada y es $\frac{3+7}{2} = 5$, así que el punto medio es $(4, 5)$. ¿Por qué promediar? Porque "exactamente en el centro" significa estar a la misma distancia de ambos extremos, y el promedio queda justo en medio de dos números.

Mide primero los casos planos

La distancia sale gratis en dos situaciones especiales:

• Misma fila (coordenadas y iguales): la distancia es la diferencia de las coordenadas x, por ejemplo, de $(1, 2)$ a $(5, 2)$ hay 4 de distancia;
• Misma columna (coordenadas x iguales): la distancia es la diferencia de las coordenadas y.

Los pares inclinados no son tan generosos, pero sí entregan estas dos "piernas": de $(2,3)$ a $(6,7)$ la separación horizontal es $6-2=4$ y la separación vertical es $7-3=4$.

Distancia inclinada: entra Pitágoras

Trata las separaciones horizontal y vertical como las dos piernas de un triángulo rectángulo; el camino inclinado es la hipotenusa. De $(0,0)$ a $(3,4)$: avanza 3 y sube 4, entonces

$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

El clásico triángulo 3-4-5. Cualquier distancia inclinada se puede medir armando un triángulo rectángulo invisible como este.

La fórmula de distancia: Pitágoras disfrazado

Escribe el procedimiento como una regla general y obtienes la fórmula de distancia:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

No es un teorema nuevo: la primera diferencia es la pierna horizontal, la segunda es la pierna vertical, y sigue siendo Pitágoras con abrigo. Aplicado a $(2,3)$ y $(6,7)$: $d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5.7$.

Cómo usar

x3y-2

(3, -2) → Cuadrante IV

Camina x pasos horizontalmente, luego y pasos verticalmente: el par ordenado (x, y) ubica exactamente un punto.

Arrastra los puntos en el plano: observa lo fácil que es la distancia en la misma fila o columna, luego inclínalos y siente el momento en que Pitágoras toma el control.

Compruébalo tú mismo

Cuestionario rápido

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0 / 3 correctas0 / 3 correctas

1. 1. ¿Cuál es el punto medio de (1, 2) y (5, 6)?

   (3, 4)(6, 8)(2, 3)

2. 2. ¿Cuál es la distancia de (0, 0) a (6, 8)?

   10147

3. 3. ¿Cuál es la distancia de (0, 0) a (5, 12)?

   13178.5